Calcule o fluxo do campo
ao longo da superficie
, que consiste na superficie
, com vetor normal
tendo componente
não positiva (Sugestão: tampe a superficie com um disco apropriado contido no plano
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial
ao longo da superfície
, que é definida pela superfície
entre
. Além disso, o vetor normal
deve ter a componente
não positiva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o Teorema da Divergência. Precisaremos entender como parametrizar a superfície e aplicar o teorema corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. Ela é uma parábola circular definida por
que vai do plano
até
. Para calcular o fluxo através dessa superfície, é mais fácil se a gente fechar a superfície adicionando um disco na parte superior, no plano
. Assim, teremos um sólido fechado e podemos aplicar o Teorema da Divergência.
Passo 3
O Teorema da Divergência nos diz que o fluxo do campo vetorial
através da superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume limitado por essa superfície. Ou seja:
Aqui,
é a superfície fechada (a parábola mais o disco) e
é o volume dentro dela.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Para o nosso campo
, temos:
Então,
Passo 5
Como a divergência de
é zero, a integral tripla sobre o volume
também será zero:
Isso significa que o fluxo total através da superfície fechada é zero. Mas lembre-se que a superfície fechada é composta pela superfície
que queremos e pelo disco no topo.
Passo 6
Portanto, o fluxo através da superfície
mais o fluxo através do disco no topo é igual a zero:
Queremos encontrar
, então precisamos calcular o fluxo através do disco e então resolver para
.
Passo 7
Vamos calcular o fluxo através do disco no topo, que está no plano
. O vetor normal para o disco é
, mas como queremos que o componente
seja não positivo na superfície
, o normal do disco será
.
No disco,
, então o campo
se torna
. O fluxo através do disco é:
A área do disco é
, onde
é o raio. Como
, o raio
.
Então,
Passo 8
Voltando à equação anterior:
Então,
Resposta
O fluxo do campo
através da superfície
é
.