Calcule o fluxo do campo F(x, y, z)=(x^2 y,-x y^2, 1) ao longo da superficie S, que consiste na superficie z=x^2+y^2, 0 <= z <= 1, com vetor normal n tendo componente z não positiva (Sugestão: tampe a superficie com um disco apropriado contido no plano z=1 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x^2 y, -x y^2, 1) ao longo da superfície S , que é definida pela superfície z = x^2 + y^2 entre 0 <= z <= 1 . Além disso, o vetor normal n deve ter a componente z não positiva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o Teorema da Divergência. Precisaremos entender como parametrizar a superfície e aplicar o teorema corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S . Ela é uma parábola circular definida por z = x^2 + y^2 que vai do plano z = 0 até z = 1 . Para calcular o fluxo através dessa superfície, é mais fácil se a gente fechar a superfície adicionando um disco na parte superior, no plano z = 1 . Assim, teremos um sólido fechado e podemos aplicar o Teorema da Divergência.

Passo 3

O Teorema da Divergência nos diz que o fluxo do campo vetorial F através da superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume limitado por essa superfície. Ou seja:
integral duplapartial V F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Aqui, partial V é a superfície fechada (a parábola mais o disco) e V é o volume dentro dela.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F . A divergência de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Para o nosso campo F(x, y, z) = (x^2 y, -x y^2, 1) , temos:
partial Fxpartial x = partial (x^2 y)partial x = 2x y
partial Fypartial y = partial (-x y^2)partial y = -2x y
partial Fzpartial z = partial 1partial z = 0
Então,
nabla cdot F = 2x y - 2x y + 0 = 0

Passo 5

Como a divergência de F é zero, a integral tripla sobre o volume V também será zero:
integral triplaV nabla cdot F , dV = 0
Isso significa que o fluxo total através da superfície fechada é zero. Mas lembre-se que a superfície fechada é composta pela superfície S que queremos e pelo disco no topo.

Passo 6

Portanto, o fluxo através da superfície S mais o fluxo através do disco no topo é igual a zero:
integral duplaS F cdot n , dS + integral dupladisco F cdot n , dS = 0
Queremos encontrar integral duplaS F cdot n , dS , então precisamos calcular o fluxo através do disco e então resolver para S .

Passo 7

Vamos calcular o fluxo através do disco no topo, que está no plano z = 1 . O vetor normal para o disco é n = (0, 0, 1) , mas como queremos que o componente z seja não positivo na superfície S , o normal do disco será n = (0, 0, -1) .
No disco, z = 1 , então o campo F se torna F(x, y, 1) = (x^2 y, -x y^2, 1) . O fluxo através do disco é:
integral dupladisco F cdot n , dS = integral dupladisco (x^2 y, -x y^2, 1) cdot (0, 0, -1) , dS = integral dupladisco -1 , dS
A área do disco é pi r^2, onde r é o raio. Como z = x^2 + y^2 = 1 , o raio r = 1 .
Então,
integral dupladisco -1 , dS = -pi (1)^2 = -pi

Passo 8

Voltando à equação anterior:
integral duplaS F cdot n , dS + (-pi) = 0
Então,
integral duplaS F cdot n , dS = pi

Resposta

O fluxo do campo F através da superfície S é pi .

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