Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada.
sumn=0^infty(-1)^n+1 (x-1)^nn

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=1
sumn=1^infty(-1)^n+1,(x-1)^nn
O conteúdo é série de potências e vamos usar o Teste da Razão para achar o raio e em seguida testar os pontos finais x=1pm R.

Passo 2

Seja
un = (-1)^n+1,(x-1)^nn
Aplicamos o Teste da Razão na forma
L = limntoinftylvert un+1rvertlvert unrvert =limntoinfty lvert x-1rvert^,n+1/(n+1)lvert x-1rvert^n/n =limntoinftylvert x-1rvertnn+1 =lvert x-1rvert
O teste diz que a série converge se L<1, ou seja, se lvert x-1rvert<1.

Passo 3

Da condição lvert x-1rvert<1 obtemos o raio de convergência
R = 1

Passo 4

Testamos o extremo direito x=1+R=2. Nesse caso (x-1)=1 e a série vira
sumn=1^infty(-1)^n+1,1^nn =sumn=1^infty(-1)^n+11n,
que converge por ser série alternada com termos 1n monotonamente decrescentes a zero (Critério de Leibniz).

Passo 5

Testamos o extremo esquerdo x=1-R=0. Aqui (x-1)=-1 e a série fica
sumn=1^infty(-1)^n+1,(-1)^nn =sumn=1^infty-1n,
que diverge pois é (menos) a série harmônica.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: (0,2].

Exercícios relacionados