Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em
O conteúdo é série de potências e vamos usar o Teste da Razão para achar o raio e em seguida testar os pontos finais
.
Passo 2
Seja
Aplicamos o Teste da Razão na forma
O teste diz que a série converge se
, ou seja, se
.
Passo 3
Da condição
obtemos o raio de convergência
Passo 4
Testamos o extremo direito
. Nesse caso
e a série vira
que converge por ser série alternada com termos
monotonamente decrescentes a zero (Critério de Leibniz).
Passo 5
Testamos o extremo esquerdo
. Aqui
e a série fica
que diverge pois é (menos) a série harmônica.
Resposta
Raio de convergência:
.
Intervalo de convergência: .
Intervalo de convergência: