Parametrize a superficie obtida através da revolução, em torno do eixo , do arco de parábola localizado no plano xz . Em seguida, calcule a área da porção de compreendida entre os cilindros e
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos parametrizar uma superfície que é formada pela rotação, em torno do eixo , de um arco de parábola dado por , onde , localizado no plano . Depois, precisamos calcular a área dessa superfície que está entre os cilindros e . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo em coordenadas cilíndricas e parametrização de superfícies por rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície . Como a superfície é gerada pela rotação do arco de parábola em torno do eixo , podemos usar coordenadas cilíndicas para facilitar. Em coordenadas cilíndicas, temos que , e .
Como a parábola é , substituindo , temos:
Portanto, a parametrização da superfície será:
onde varia de a (já que ) e varia de a para cobrir toda a rotação.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a área da porção de que está entre os cilindros e . Em coordenadas cilíndricas, esses cilindros correspondem a e , respectivamente.
A fórmula para a área de uma superfície parametrizada é dada por:
No nosso caso, as variáveis são r e theta, então:
A = integraltheta=0^2pi integralr=1^2 | partial rpartial r times partial rpartial theta | dr dtheta
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de r(r, theta) em relação a r e theta.
Primeiro, a derivada em relação a r:
partial rpartial r = lang<= ddr(r cos theta), ddr(r sin theta), ddr(r^2 cos^2 theta) rang<= = lang<= cos theta, sin theta, 2r cos^2 theta rang<=
Em seguida, a derivada em relação a theta:
partial rpartial theta = lang<= ddtheta(r cos theta), ddtheta(r sin theta), ddtheta(r^2 cos^2 theta) rang<= = lang<= -r sin theta, r cos theta, -2r^2 cos theta sin theta rang<=
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas derivadas parciais:
partial rpartial r times partial rpartial theta = i & j & k cos theta & sin theta & 2r cos^2 theta - r sin theta & r cos theta & -2 r^2 cos theta sin theta
Calculando o determinante:
i ( sin theta cdot (-2 r^2 cos theta sin theta) - 2r cos^2 theta cdot r cos theta ) - j ( cos theta cdot (-2 r^2 cos theta sin theta) - 2r cos^2 theta cdot (-r sin theta) ) + k ( cos theta cdot r cos theta - sin theta cdot (- r sin theta) )
Simplificando cada componente:
Componente i:
-2 r^2 cos theta sin^2 theta - 2 r^2 cos^3 theta = -2 r^2 cos theta (sin^2 theta + cos^2 theta) = -2 r^2 cos theta
Componente j:
-2 r^2 cos^2 theta sin theta + 2 r^2 cos^2 theta sin theta = 0
Componente k:
r cos^2 theta + r sin^2 theta = r (cos^2 theta + sin^2 theta) = r
Portanto, o produto vetorial é:
partial rpartial r times partial rpartial theta = lang<= -2 r^2 cos theta, 0, r rang<=
Passo 6
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
| partial rpartial r times partial rpartial theta | = raiz(-2 r^2 cos theta)^2 + 0^2 + r^2 = raiz4 r^4 cos^2 theta + r^2 = r raiz4 r^2 cos^2 theta + 1
Passo 7
Finalmente, vamos integrar para encontrar a área:
A = integral0^2pi integral1^2 r raiz4 r^2 cos^2 theta + 1 , dr , dtheta
Essa integral pode ser bastante complexa para resolver analiticamente, portanto, para simplificar, podemos considerar a simetria e usar métodos numéricos ou aproximações. No entanto, se assumirmos que cos^2 theta varia entre 0 e 1, podemos reconhecer que a integral não se simplifica facilmente.
Para fins de estudo, podemos deixar a resposta na forma da integral definida:
Resposta
A área da porção da superfície S compreendida entre os cilindros x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4 é dada pela integral dupla:
A = integral0^2pi integral1^2 r raiz4 r^2 cos^2 theta + 1 , dr , dtheta