Parametrize a superficie S obtida através da revolução, em torno do eixo z, do arco de parábola z=x^2, 0 <= x <= 4 localizado no plano xz . Em seguida, calcule a área da porção de S compreendida entre os cilindros x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos parametrizar uma superfície S que é formada pela rotação, em torno do eixo z, de um arco de parábola dado por z = x^2, onde 0 <= x <= 4, localizado no plano xz. Depois, precisamos calcular a área dessa superfície que está entre os cilindros x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo em coordenadas cilíndricas e parametrização de superfícies por rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície S. Como a superfície é gerada pela rotação do arco de parábola em torno do eixo z, podemos usar coordenadas cilíndicas para facilitar. Em coordenadas cilíndicas, temos que x = r cos theta, y = r sin theta e z = z.
Como a parábola é z = x^2, substituindo x = r cos theta, temos:
z = (r cos theta)^2 = r^2 cos^2 theta
Portanto, a parametrização da superfície S será:
r(r, theta) = lang<= r cos theta, r sin theta, r^2 cos^2 theta rang<=
onde r varia de 0 a 4 (já que 0 <= x <= 4) e theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a rotação.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a área da porção de S que está entre os cilindros x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4. Em coordenadas cilíndricas, esses cilindros correspondem a r = 1 e r = 2, respectivamente.
A fórmula para a área de uma superfície parametrizada r(u, v) é dada por:
A = integral dupla | partial rpartial u times partial rpartial v | du dv
No nosso caso, as variáveis são r e theta, então:
A = integraltheta=0^2pi integralr=1^2 | partial rpartial r times partial rpartial theta | dr dtheta

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de r(r, theta) em relação a r e theta.
Primeiro, a derivada em relação a r:
partial rpartial r = lang<= ddr(r cos theta), ddr(r sin theta), ddr(r^2 cos^2 theta) rang<= = lang<= cos theta, sin theta, 2r cos^2 theta rang<=
Em seguida, a derivada em relação a theta:
partial rpartial theta = lang<= ddtheta(r cos theta), ddtheta(r sin theta), ddtheta(r^2 cos^2 theta) rang<= = lang<= -r sin theta, r cos theta, -2r^2 cos theta sin theta rang<=

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas derivadas parciais:
partial rpartial r times partial rpartial theta = i & j & k cos theta & sin theta & 2r cos^2 theta - r sin theta & r cos theta & -2 r^2 cos theta sin theta
Calculando o determinante:
i ( sin theta cdot (-2 r^2 cos theta sin theta) - 2r cos^2 theta cdot r cos theta ) - j ( cos theta cdot (-2 r^2 cos theta sin theta) - 2r cos^2 theta cdot (-r sin theta) ) + k ( cos theta cdot r cos theta - sin theta cdot (- r sin theta) )
Simplificando cada componente:
  • Componente i:
-2 r^2 cos theta sin^2 theta - 2 r^2 cos^3 theta = -2 r^2 cos theta (sin^2 theta + cos^2 theta) = -2 r^2 cos theta
  • Componente j:
-2 r^2 cos^2 theta sin theta + 2 r^2 cos^2 theta sin theta = 0
  • Componente k:
r cos^2 theta + r sin^2 theta = r (cos^2 theta + sin^2 theta) = r
Portanto, o produto vetorial é:
partial rpartial r times partial rpartial theta = lang<= -2 r^2 cos theta, 0, r rang<=

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
| partial rpartial r times partial rpartial theta | = raiz(-2 r^2 cos theta)^2 + 0^2 + r^2 = raiz4 r^4 cos^2 theta + r^2 = r raiz4 r^2 cos^2 theta + 1

Passo 7

Finalmente, vamos integrar para encontrar a área:
A = integral0^2pi integral1^2 r raiz4 r^2 cos^2 theta + 1 , dr , dtheta
Essa integral pode ser bastante complexa para resolver analiticamente, portanto, para simplificar, podemos considerar a simetria e usar métodos numéricos ou aproximações. No entanto, se assumirmos que cos^2 theta varia entre 0 e 1, podemos reconhecer que a integral não se simplifica facilmente.
Para fins de estudo, podemos deixar a resposta na forma da integral definida:

Resposta

A área da porção da superfície S compreendida entre os cilindros x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4 é dada pela integral dupla:
A = integral0^2pi integral1^2 r raiz4 r^2 cos^2 theta + 1 , dr , dtheta

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