Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
y^prime prime+4 y=f(t), sendo dados y(0)=0 e y^prime(0)=-1, onde
f(t)=cc 1, & 0 <= t<1 0, & t >= 1

Passo 1

O enunciado pede para usar a transformada de Laplace e resolver o problema de valor inicial
y''+4y=f(t), y(0)=0,;y'(0)=-1,
onde
f(t)= 1,&0<= t<1, 0,&t>=1
Vamos precisar de: (i) representar f(t) usando a função de Heaviside, (ii) lembrar que
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e (iii) da propriedade de deslocamento na frequência para termos do tipo e^-s.

Passo 2

Escrevemos
f(t)=1 - u(t-1),
onde u(t-1) é a função de Heaviside deslocada. Aplicando transformada de Laplace na equação:
Ly''+4Ly =L1-Lu(t-1)
Como y(0)=0 e y'(0)=-1, temos
Ly''=s^2Y(s)-scdot0-(-1)=s^2Y(s)+1,
e
L1=1s, Lu(t-1)=e^-ss
Logo
(s^2+4)Y(s)+1=1s-e^-ss

Passo 3

Isolando Y(s):
(s^2+4)Y(s) =1s-e^-ss-1 =1-ss-e^-ss =-s-1s-e^-ss
Portanto
Y(s) =-s-1s(s^2+4);-;1s(s^2+4),e^-s

Passo 4

Separamos em dois termos:
Y(s)=A(s)+B(s),e^-s,
onde
A(s)=-s-1s(s^2+4), B(s)=-1s(s^2+4)
Fazemos frações parciais em cada um.
Para A(s):
-s-1s(s^2+4) =-l(A1s+B1,s+C1s^2+4r),
resolvendo encontra-se
A1=-14, B1=14, C1=1
Logo
A(s)=-l(-141s+tfrac14,s+1s^2+4r) =141s-tfrac14,s+1s^2+4
Para B(s):
-1s(s^2+4) =A2s+B2,s+C2s^2+4,
resultando em
A2=14, B2=-14, C2=0,
portanto
B(s)=141s-tfrac14,ss^2+4

Passo 5

Agora invertendo cada pedaço:
1. L^-1!l(tfrac1sr)=1,
L^-1!l(tfracss^2+4r)=cos2t,
L^-1!l(tfrac1s^2+4r)=tfrac12sin2t.
Assim
L^-1A(s) =14cdot1 -14cos2t -1cdot12sin2t =14-14cos2t-12sin2t
2. Para o termo com e^-s, usamos deslocamento:
L^-1B(s)e^-s =u(t-1),h(t-1),
onde h(t)=L^-1B(s). Como
B(s)=141s-14ss^2+4,
tem-se
h(t)=14cdot1-14cos2t =14-14cos2t
Então
L^-1B(s)e^-s =u(t-1)l(14-14cos2(t-1)r)

Passo 6

Somando as duas partes:
y(t) =l[tfrac14-tfrac14cos 2t-tfrac12sin 2tr] ; - ; u(t-1)l[tfrac14-tfrac14cos 2(t-1)r]
Em forma piecewise:
y(t)= dfrac14-dfrac14cos 2t-dfrac12sin 2t,&0<= t<1,[6pt] dfrac14-dfrac14cos 2t-dfrac12sin 2t -dfrac14+dfrac14cos 2(t-1),&t>=1 ]

Resposta

Para 0<= t<1:
y(t)=14-14cos2t-12sin2t
Para t>=1:
y(t)=-14cos2t-12sin2t+14cos2(t-1)

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