Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo envolve testes de convergência de séries de potências, em particular o teste da razão (d’Alembert).
Passo 2
Aplicamos o teste da razão à
-ésima termo
Calculamos
Como
(2n+1)(2n)toinfty quando
ntoinfty , temos
para todo
x . Pelo teste da razão, a série converge sempre que esse limite for menor que
1 , e aqui ele é
0<1 para todo
x .
Passo 3
Do resultado do teste da razão segue-se que o raio de convergência é infinito, ou seja,
Logo o intervalo de convergência é todo o eixo real:
Resposta
O raio de convergência é
R=infty e o intervalo de convergência é
(-infty,infty) .