Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada.
sumn=1^infty(-1)^n+1 x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty(-1)^n+1x^2n-1(2n-1)!
O conteúdo envolve testes de convergência de séries de potências, em particular o teste da razão (d’Alembert).

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à n-ésima termo
un = (-1)^n+1x^2n-1(2n-1)!
Calculamos
|un+1un| = |x^2(n+1)-1(2(n+1)-1)!cdot(2n-1)!x^2n-1| = |x^2(2n+1)(2n)|
Como (2n+1)(2n)toinfty quando ntoinfty, temos
limntoinfty|un+1un| = 0
para todo x. Pelo teste da razão, a série converge sempre que esse limite for menor que 1, e aqui ele é 0<1 para todo x.

Passo 3

Do resultado do teste da razão segue-se que o raio de convergência é infinito, ou seja,
R = infty
Logo o intervalo de convergência é todo o eixo real:

Resposta

O raio de convergência é R=infty e o intervalo de convergência é (-infty,infty).

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