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Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
30l(x^2+2xy-y^2r),dx+l(y^2+2xy - x^2r),dy=0
e informa o fator integrante
mu(x,y) = (x+y)^-2
O conteúdo aqui é “equação exata” e “fator integrante”: vamos multiplicar por mu, verificar que fica exata, e então achar a função potencial.

Passo 2

Multiplicamos toda a equação por mu=(x+y)^-2. Chamando
M(x,y)=30,(x^2+2xy-y^2), N(x,y)=y^2+2xy-x^2,
ficam
widetilde M = M(x+y)^2, widetilde N = N(x+y)^2

Passo 3

Verificamos a exatidão, isto é, checamos
partial widetilde Mpartial y e partial widetilde Npartial x
Um cálculo direto mostra que, de fato,
partial widetilde Mpartial y = partial widetilde Npartial x,
logo a equação widetilde M,dx+widetilde N,dy=0 é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = widetilde M
Para integrar
Phix =30 - 60,y^2(x+y)^2,
é conveniente pôr u=x+y. Integramos em x (tratando y como constante):
Phi(x,y) =integral!l(30 - 60y^2u^2r),dx =30x + 60,y^2u + h(y),
isto é,
Phi(x,y)=30x + 60,y^2,x+y,+h(y)

Passo 5

Agora impomos
Phiy = widetilde N
Calculando
Phiy =ddyl(30x + 60y^2x+y+h(y)r) =120yx+y-60y^2(x+y)^2+h'(y)
e comparando com
widetilde N =-30 + 120yx+y-60y^2(x+y)^2,
vemos que
h'(y)=-30 Longrightarrow h(y)=-30y + C

Passo 6

Portanto
Phi(x,y) =30x + 60,y^2x+y-30y
é constante. Podemos reescrever multiplicando por (x+y):
(x+y),Phi =30x(x+y)-30y(x+y)+60y^2 =!30(x^2-y^2)-30y(x+y)+60y^2
Fazendo as contas chega-se a
30l(x^2+y^2r)=K,(x+y),
onde K é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral implícita é
boxedx^2 + y^2 = C,(x+y),
com C constante.

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