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Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e informa o fator integrante
O conteúdo aqui é “equação exata” e “fator integrante”: vamos multiplicar por
, verificar que fica exata, e então achar a função potencial.
Passo 2
Multiplicamos toda a equação por
. Chamando
ficam
Passo 3
Verificamos a exatidão, isto é, checamos
Um cálculo direto mostra que, de fato,
logo a equação
é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe
tal que
Para integrar
é conveniente pôr
. Integramos em
(tratando
como constante):
isto é,
Passo 5
Agora impomos
Calculando
e comparando com
vemos que
Passo 6
Portanto
é constante. Podemos reescrever multiplicando por
:
Fazendo as contas chega-se a
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A solução geral implícita é
com
constante.