Calcule o fluxo do campo vetorial
, a traves da superfície fechada
que limita o solido
a) Diretamente
b) Aplicando o Teorema da Divergência
b) Aplicando o Teorema da Divergência
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície fechada
que é composta pela parábola invertida
e pelo disco plano em
com raio
. O conteúdo envolve cálculo de fluxo de campo vetorial e o Teorema da Divergência.
Passo 2
Resolvendo “diretamente”, dividimos
em duas partes:
- A parábola
. - O disco
.
Em, o normal exterior aponta para baixo, , e como temos
logo o disco não contribui para o fluxo.
Passo 3
Na parábola
o vetor de área (orientado para fora) é
onde
é o elemento de área no plano
. Então
pois
cancela o termo em
.
Passo 4
Agora integramos sobre o disco de raio
no plano
:
Passo 5
Usando o Teorema da Divergência, primeiro calculamos
Então
O volume
é dado em coordenadas polares por
Logo
Resposta
O fluxo é
pelas duas abordagens:
a) Direta:
b) Teorema da Divergência:
a) Direta:
b) Teorema da Divergência: