Calcule o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=(x, y, 2 z), a traves da superfície fechada S que limita o solido
V:=\left\{(x, y, z) / 0 \leq z \leq 4-2 x^{2}-2 y^{2}\right\}
a) Diretamente
b) Aplicando o Teorema da Divergência

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=(x,y,2z) através da superfície fechada S que é composta pela parábola invertida
z=4-2(x^2+y^2)
e pelo disco plano em z=0 com raio \sqrt{2}. O conteúdo envolve cálculo de fluxo de campo vetorial e o Teorema da Divergência.

Passo 2

Resolvendo “diretamente”, dividimos S em duas partes:
  1. A parábola S_1\colon z=4-2(x^2+y^2).
  2. O disco S_2\colon z=0,\;x^2+y^2\le2.
    Em S_2, o normal exterior aponta para baixo, \mathbf{n}_2=-\mathbf{k}, e como z=0 temos
F\bigl|_{S_2}=(x,y,0) \quad\Longrightarrow\quad F\cdot\mathbf{n}_2 = (x,y,0)\cdot(0,0,-1)=0,
logo o disco não contribui para o fluxo.

Passo 3

Na parábola z=f(x,y)=4-2(x^2+y^2) o vetor de área (orientado para fora) é
d\mathbf{S} =(-f_x,\,-f_y,\,1)\,dA =(4x,\,4y,\,1)\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy. Então
F\cdot d\mathbf{S} =(x,y,2z)\cdot(4x,4y,1)\,dA =4x^2+4y^2+2(4-2r^2)\,dA =8\,dA
pois x^2+y^2=r^2 cancela o termo em r^2.

Passo 4

Agora integramos sobre o disco de raio \sqrt{2} no plano xy:
\Phi =\iint_{S_1}F\cdot d\mathbf{S} =\iint_{D}8\,dA =8\cdot\bigl(\pi\cdot(\sqrt{2})^2\bigr) =8\cdot2\pi =16\pi.

Passo 5

Usando o Teorema da Divergência, primeiro calculamos
\div F =\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial(2z)}{\partial z} =1+1+2=4.
Então
\Phi =\iiint_{V}\div F\,dV =4\;\Vol(V).
O volume V é dado em coordenadas polares por
\Vol(V) =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{2}} \bigl(4-2r^2\bigr)\,r\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{\sqrt{2}}(4r-2r^3)\,dr =2\pi\cdot2 =4\pi.
Logo
\Phi =4\cdot4\pi =16\pi.

Resposta

O fluxo é 16\pi pelas duas abordagens:
a) Direta: 16\pi
b) Teorema da Divergência: 16\pi

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