(2,0 pontos) Classifique as alternativas abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F) justificando cada resposta com os cálculos matemáticos correspondentes.
a) A função f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x} tem 2 pontos críticos que são mínimos locais. ( f )
b) Uma primitiva da funçāo f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{3}+3 x} è a função F(x)=\frac{\ln \left|x^{3}+3 x\right|}{3}+\pi^{\ln 2} \cdot(\sqrt{ })
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeiras (V) ou falsas (F) duas afirmativas e justificar com cálculos de cálculo diferencial e cálculo integral. Em (a) vamos analisar pontos críticos de \,f(x)=\sqrt{x}+\tfrac1x no domínio x>0. Em (b) vamos verificar se a função dada é de fato uma primitiva de \,f(x)=\tfrac{x^2+1}{x^3+3x}.
Em x=2^{2/3} tem-se x^{3/2}=2, de modo que o numerador é -2+8=6>0 e o denominador também >0. Logo f''(2^{2/3})>0, é um mínimo local. Concluímos que há apenas um ponto crítico, e este é mínimo. Portanto a afirmativa de “2 pontos críticos que são mínimos locais” é falsa.