(2,0 pontos) Classifique as alternativas abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F) justificando cada resposta com os cálculos matemáticos correspondentes.
a) A função f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x} tem 2 pontos críticos que são mínimos locais. ( f )
b) Uma primitiva da funçāo f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{3}+3 x} è a função F(x)=\frac{\ln \left|x^{3}+3 x\right|}{3}+\pi^{\ln 2} \cdot(\sqrt{ })

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeiras (V) ou falsas (F) duas afirmativas e justificar com cálculos de cálculo diferencial e cálculo integral. Em (a) vamos analisar pontos críticos de \,f(x)=\sqrt{x}+\tfrac1x no domínio x>0. Em (b) vamos verificar se a função dada é de fato uma primitiva de \,f(x)=\tfrac{x^2+1}{x^3+3x}.

Passo 2

Para (a), considere
f(x)=x^{1/2}+x^{-1},\quad x>0.
A derivada é
f'(x)=\frac12\,x^{-1/2}-x^{-2}.
Igualando a zero para achar pontos críticos:
\frac12\,x^{-1/2}=x^{-2} \quad\Longrightarrow\quad x^2=2\,x^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad x^{3/2}=2 \quad\Longrightarrow\quad x=(2)^{2/3}.
Não há outro x>0 que anule f'(x), logo há apenas um ponto crítico interno. Para classificar, calcule a segunda derivada:
f''(x)=-\frac1{4}\,x^{-3/2}+2\,x^{-3} =\frac{-x^{3/2}+8}{4\,x^3}.
Em x=2^{2/3} tem-se x^{3/2}=2, de modo que o numerador é -2+8=6>0 e o denominador também >0. Logo f''(2^{2/3})>0, é um mínimo local. Concluímos que há apenas um ponto crítico, e este é mínimo. Portanto a afirmativa de “2 pontos críticos que são mínimos locais” é falsa.

Passo 3

Para (b), vamos integrar
f(x)=\frac{x^2+1}{x^3+3x} =\frac{x^2+1}{x\,(x^2+3)}.
Note que
\frac{x^2+1}{x\,(x^2+3)} =\frac1x-\frac2{x^2+3}
(pela decomposição em frações parciais). Assim uma primitiva geral é
\int f(x)\,dx =\int\frac1x\,dx-\!2\!\int\frac1{x^2+3}\,dx =\ln|x|-\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\Bigl(\tfrac{x}{\sqrt3}\Bigr)+C.
A função proposta
F(x)=\frac{\ln|x^3+3x|}{3}+\pi^{\ln2}\cdot(\sqrt{})
não coincide com esse resultado (o segundo termo é sem sentido e não aparece na primitiva correta). Portanto a afirmativa é falsa.

Resposta

a) F
b) F

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