Seja \sigma a superfície do cubo limitado pelos planos x= \pm 1, y= \pm 1, z= \pm 1, orientada por vetores normais unitários para fora. Em cada parte determine o fluxo de F através de \sigma
F(x, y, z)=x^{2} \hat{\mathbf{i}}+y^{2} \hat{\mathbf{j}}+z^{2} \hat{\mathbf{k}}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=x^{2}\,\hat{\mathbf{i}}+y^{2}\,\hat{\mathbf{j}}+z^{2}\,\hat{\mathbf{k}} através da superfície fechada \sigma do cubo definido por |x|\le1, |y|\le1, |z|\le1, com orientação para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo de F através de \sigma é igual à integral tripla do divergente de F no interior do cubo.

Passo 2

Calculamos o divergente de F:
\nabla\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}) =2x+2y+2z.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de F através de \sigma é
\iint_{\sigma}F\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{V}(\nabla\cdot F)\,dV =\iiint_{V}(2x+2y+2z)\,dV.
Como a região V é simétrica em torno dos três eixos, temos
\iiint_{V}x\,dV =\iiint_{V}y\,dV =\iiint_{V}z\,dV =0,
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\iiint_{V}(2x+2y+2z)\,dV =2\bigl(0+0+0\bigr) =0.

Resposta

O fluxo de F através de \sigma é 0.

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