Calcule a integral curvilínea
\int_{\alpha}(y-z) d x+(z-x) d y+(x-y) d z
sendo \alpha:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \alpha(t)=\left(\operatorname{cost}, \frac{1}{2} \operatorname{sen} t, 1-\frac{3}{4} \operatorname{sen}^{2} t\right) onde \alpha é a parametrização da curva interseção entre as equações \alpha:\left\{\begin{array}{c}x^{2}+4 y^{2}=1 \\\ z=x^{2}+y^{2}\end{array}\right.
a) Diretamente
b) Aplicando o Teorema de Stokes

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\oint_{\alpha}(y-z)\,dx+(z-x)\,dy+(x-y)\,dz
onde \alpha\) é a curva fechada dada pela interseção \[\begin{cases} x^{2}+4y^{2}=1,\\\ z=x^{2}+y^{2}, \end{cases}
parametrizada por
\alpha(t)=\bigl(\cos t,\tfrac12\sin t,\,1-\tfrac34\sin^{2}t\bigr),\quad t\in[0,2\pi].
Vamos calcular (a) diretamente, usando essa parametrização, e (b) aplicando o Teorema de Stokes sobre a superfície S:\,z=x^{2}+y^{2}\] limitada por \(\alpha.

Passo 2

Para o método direto, escrevemos
\begin{aligned} x(t)&=\cos t,&dx&=-\sin t\,dt,\\\ y(t)&=\tfrac12\sin t,&dy&=\tfrac12\cos t\,dt,\\\ z(t)&=1-\tfrac34\sin^{2}t,&dz&=-\tfrac32\sin t\cos t\,dt. \end{aligned}
Substituímos em
\,(y-z)\,dx+(z-x)\,dy+(x-y)\,dz\, e obtemos uma função T(t) que, após agrupar termos, fica
T(t)=\sin t+\tfrac12\cos t-\tfrac12-{\tfrac34}\sin^{3}t-{\tfrac32}\sin t\cos^{2}t+{\tfrac38}\sin^{2}t\cos t.
Então
\oint_{\alpha}\dots =\int_{0}^{2\pi}T(t)\,dt =-\tfrac12\cdot2\pi =-\pi,
pois todos os outros termos têm integral zero sobre [0,2\pi].

Passo 3

Para usar o Teorema de Stokes, note que o campo
\mathbf{F}(x,y,z)=(\,y-z,\;z-x,\;x-y\,)
satisfaz
\nabla\times\mathbf{F} =\bigl(-2,\,-2,\,-2\bigr).
Escolhemos como superfície S o pedaço do paraboloide z=x^{2}+y^{2} sobre a região elíptica
D=\{(x,y)\mid x^{2}+4y^{2}\le1\}.
O vetor normal para a orientação compatível com o sentido de \alpha é
\mathbf{n}\,dS=(-2x,\,-2y,\,1)\,dA.
Logo
\oint_{\alpha}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{D}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dA =\iint_{D}\bigl(4x+4y-2\bigr)\,dA.
Pela simetria, \int_{D}x\,dA=\int_{D}y\,dA=0 e \mathrm{Area}(D)=\pi\cdot1\cdot\tfrac12=\tfrac\pi2. Assim
\oint_{\alpha}\dots =-2\iint_{D}dA =-2\cdot\tfrac\pi2 =-\pi.

Resposta

(a) -\pi
(b) -\pi

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