Calcule a integral curvilínea
sendo
onde
é a parametrização da curva interseção entre as equações
a) Diretamente
b) Aplicando o Teorema de Stokes
a) Diretamente
b) Aplicando o Teorema de Stokes
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
parametrizada por
Vamos calcular (a) diretamente, usando essa parametrização, e (b) aplicando o Teorema de Stokes sobre a superfície
.
Passo 2
Para o método direto, escrevemos
Substituímos em
e obtemos uma função
que, após agrupar termos, fica
Então
pois todos os outros termos têm integral zero sobre
.
Passo 3
Para usar o Teorema de Stokes, note que o campo
satisfaz
Escolhemos como superfície
o pedaço do paraboloide
sobre a região elíptica
O vetor normal para a orientação compatível com o sentido de
é
Logo
Pela simetria,
e
. Assim
Resposta
(a)
(b)
(b)