Dada a função f(x)=x^{3}-x, responda o que se pede:
a) (1,0 ponto) Calcule os seus intervalos de crescimento e de decrescimento e seus pontos extremos, se existirem;
b) ( 1,0 ponto) Determine a concavidade da f;
c) \left(1,0\right. ponto) Calcule \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) e \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x);
d) (1,0 ponto) Usando os itens anteriores, esboce o gráfico da f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-x
e pede: (a) intervalos de crescimento e decrescimento e pontos extremos; (b) concavidade; (c) \lim_{x\to+\infty}f(x) e \lim_{x\to0^+}f(x); (d) esboço do gráfico.
Vamos usar derivadas para (a) e (b), limites para (c) e depois reunir tudo em (d).

Passo 2

Calculamos a derivada primeira e achamos os pontos críticos:
f'(x)=3x^{2}-1.
Resolve-se f'(x)=0:
3x^{2}-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
Para x<-\tfrac{1}{\sqrt{3}} tem-se 3x^2>1, logo f'(x)>0 (cresce).
Para -\tfrac{1}{\sqrt{3}}<x<\tfrac{1}{\sqrt{3}} tem-se 3x^2<1, logo f'(x)<0 (decresce).
Para x>\tfrac{1}{\sqrt{3}} tem-se 3x^2>1, logo f'(x)>0 (cresce).
Portanto:
— Cresce em \bigl(-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) e em \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},+\infty\bigr).
— Decresce em \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr).
Nos pontos críticos trocam-se sinais de f': em x=-\tfrac{1}{\sqrt{3}} vai de + para –, logo há máximo local; em x=\tfrac{1}{\sqrt{3}} vai de – para +, logo mínimo local.
Calculamos os valores:
f\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)^{3} -\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) =-\tfrac{1}{3\sqrt{3}}+\tfrac{1}{\sqrt{3}} =\tfrac{2}{3\sqrt{3}},
f\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) =\tfrac{1}{3\sqrt{3}}-\tfrac{1}{\sqrt{3}} =-\tfrac{2}{3\sqrt{3}}.

Passo 3

Para a concavidade usamos a derivada segunda:
f''(x)=6x.
Como f''(x)<0 em x<0, a curva é côncava para baixo em (-\infty,0).
Como f''(x)>0 em x>0, é côncava para cima em (0,+\infty).
Há ponto de inflexão em x=0, onde f(0)=0.

Passo 4

Calculamos os limites pedidos:
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}(x^{3}-x) =+\infty,
\lim_{x\to0^{+}}f(x) =\lim_{x\to0^{+}}(x^{3}-x) =0.

Passo 5

Combinando tudo:
— A curva sobe desde -\infty até \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{2}{3\sqrt{3}}\bigr), depois desce até \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{2}{3\sqrt{3}}\bigr) e então sobe para +\infty.
— É côncava para baixo antes de x=0, muda de concavidade em (0,0) e fica côncava para cima em x>0.
— Passa em (0,0) no ponto de inflexão.
Isso basta para esboçar o cuboide invertido com máximo em -1/\sqrt3, mínimo em 1/\sqrt3 e inflexão na origem.

Resposta

(a) Cresce em \bigl(-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) e em \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},+\infty\bigr); decresce em \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr). Máximo local em \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{2}{3\sqrt{3}}\bigr) e mínimo local em \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{2}{3\sqrt{3}}\bigr).
(b) f''(x)=6x<0 para x<0 (côncava para baixo) e f''(x)=6x>0 para x>0 (côncava para cima); inflexão em (0,0).
(c) \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to0^{+}}f(x)=0.
(d) Gráfico: cúbica com máximo em -1/\sqrt3, mínima em 1/\sqrt3, inflexão na origem, cresce em (-\infty,-1/\sqrt3) e (1/\sqrt3,\infty), decresce em (-1/\sqrt3,1/\sqrt3), concavidade trocando em x=0.

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