Dada a função
, responda o que se pede:
a) (1,0 ponto) Calcule os seus intervalos de crescimento e de decrescimento e seus pontos extremos, se existirem;
b) ( 1,0 ponto) Determine a concavidade da
;
c)
ponto) Calcule
e
;
d) (1,0 ponto) Usando os itens anteriores, esboce o gráfico da
.
a) (1,0 ponto) Calcule os seus intervalos de crescimento e de decrescimento e seus pontos extremos, se existirem;
b) ( 1,0 ponto) Determine a concavidade da
c)
d) (1,0 ponto) Usando os itens anteriores, esboce o gráfico da
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: (a) intervalos de crescimento e decrescimento e pontos extremos; (b) concavidade; (c)
e
; (d) esboço do gráfico.
Vamos usar derivadas para (a) e (b), limites para (c) e depois reunir tudo em (d).
Vamos usar derivadas para (a) e (b), limites para (c) e depois reunir tudo em (d).
Passo 2
Calculamos a derivada primeira e achamos os pontos críticos:
Resolve-se
:
Para
tem-se
, logo
(cresce).
Para tem-se
, logo
(decresce).
Para tem-se
, logo
(cresce).
Portanto:
— Cresce em e em
.
— Decresce em .
Nos pontos críticos trocam-se sinais de : em
vai de
para –, logo há máximo local; em
vai de – para
, logo mínimo local.
Calculamos os valores:
Para
Para
Portanto:
— Cresce em
— Decresce em
Nos pontos críticos trocam-se sinais de
Calculamos os valores:
Passo 3
Para a concavidade usamos a derivada segunda:
Como
em
, a curva é côncava para baixo em
.
Como em
, é côncava para cima em
.
Há ponto de inflexão em , onde
.
Como
Há ponto de inflexão em
Passo 4
Calculamos os limites pedidos:
Passo 5
Combinando tudo:
— A curva sobe desde até
, depois desce até
e então sobe para
.
— É côncava para baixo antes de , muda de concavidade em
e fica côncava para cima em
.
— Passa em no ponto de inflexão.
— A curva sobe desde
— É côncava para baixo antes de
— Passa em
Isso basta para esboçar o cuboide invertido com máximo em
, mínimo em
e inflexão na origem.
Resposta
(a) Cresce em
e em
; decresce em
. Máximo local em
e mínimo local em
.
(b) para
(côncava para baixo) e
para
(côncava para cima); inflexão em
.
(c)
(d) Gráfico: cúbica com máximo em , mínima em
, inflexão na origem, cresce em
e
, decresce em
, concavidade trocando em
.
(b)
(c)
(d) Gráfico: cúbica com máximo em