Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
do paraboloide
, com vetor normal apontando para fora de
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície lateral
do paraboloide
com a norma l apontando para fora do sólido que fica dentro do paraboloide e abaixo do plano
. Vamos usar o Teorema da Divergência para relacionar o fluxo pela superfície lateral com o fluxo pelo disco superior.
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
Denotemos por
a superfície lateral do paraboloide e por
o disco
que fecha o sólido junto com
. Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total pelo contorno fechado
é
Passo 4
Logo
Passo 5
No disco
temos
e o vetor normal externo ao sólido é
. Então
e
O fluxo através de
é
Passo 6
Portanto, o fluxo pela superfície lateral é
Resposta
O fluxo de
através de
é
.