Calcule o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=(x, y,-2 z) através da superfície S do paraboloide z=x^{2}+y^{2}, 0 \leq z \leq 1, com vetor normal apontando para fora de S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de
F(x,y,z) = (x,y,-2z)
através da superfície lateral S do paraboloide
z = x^2 + y^2,\quad 0 \le z \le 1,
com a norma l apontando para fora do sólido que fica dentro do paraboloide e abaixo do plano z=1. Vamos usar o Teorema da Divergência para relacionar o fluxo pela superfície lateral com o fluxo pelo disco superior.

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
\div F = \frac{\partial}{\partial x}(x) + \frac{\partial}{\partial y}(y) + \frac{\partial}{\partial z}(-2z) = 1 + 1 -2 = 0.

Passo 3

Denotemos por S_{\rm lat} a superfície lateral do paraboloide e por D o disco
D = \{(x,y,1)\mid x^2+y^2\le1\},
que fecha o sólido junto com S_{\rm lat}. Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total pelo contorno fechado \partial V = S_{\rm lat}\cup D é
\iint_{S_{\rm lat}}F\cdot n\,dS \;+\;\iint_{D}F\cdot n\,dS \;=\;\iiint_{V}\div F\,dV \;=\;0.

Passo 4

Logo
\iint_{S_{\rm lat}}F\cdot n\,dS = -\iint_{D}F\cdot n\,dS.

Passo 5

No disco D temos z=1 e o vetor normal externo ao sólido é n=(0,0,1). Então
F|_{z=1} = (x,y,-2),
e
F\cdot n = (x,y,-2)\cdot(0,0,1) = -2.
O fluxo através de D é
\iint_{D}F\cdot n\,dS = \iint_{x^2+y^2\le1} -2\,dA = -2\cdot\text{Área}(D) = -2\cdot\pi\cdot1^2 = -2\pi.Á

Passo 6

Portanto, o fluxo pela superfície lateral é
\iint_{S_{\rm lat}}F\cdot n\,dS = -\bigl(-2\pi\bigr) = 2\pi.

Resposta

O fluxo de F através de S é 2\pi.

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