Calcule \iint_{S}(\operatorname{rot} F \cdot \eta) d S, onde S é a união do cilindro x^{2}+y^{2}=1,0 \leq z \leq 1, com a porção do plano z=0, x^{2}+y^{2} \leq 1, orientada com vetor normal exterior, e F(x, y, z)=\left(z x+z^{2} y+x, z^{3} y x+y, z^{4} x^{2}\right).
a) Utilizando Teorema de Stokes.
b) Utilizando Teorema de Gauss.

Passo 1

O enunciado pede
– calcular
\iint_{S}(\nabla\times F)\cdot\eta\,dS
onde F(x,y,z)=(zx+z^2y+x,\;z^3yx+y,\;z^4x^2) e S é a superfície composta pela parte lateral do cilindro x^2+y^2=1,\;0\le z\le1 mais o disco z=0,\;x^2+y^2\le1, ambas orientadas com normal “para fora”.
– pela via (a) do Teorema de Stokes e (b) do Teorema de Gauss.
Conteúdos necessários:
  1. Cálculo do rotacional \nabla\times F.
  2. Teorema de Stokes \iint_{S}(\nabla\times F)\cdot\eta\,dS=\oint_{\partial S}F\cdot d\mathbf r.
  3. Teorema de Gauss aplicado ao campo \nabla\times F, usando \nabla\cdot(\nabla\times F)=0.

Passo 2

Calculemos primeiro \nabla\times F=(R_{y}-Q_{z},\,P_{z}-R_{x},\,Q_{x}-P_{y}).
Aqui
P=zx+z^2y+x,\quad Q=z^3yx+y,\quad R=z^4x^2.
Logo
\begin{aligned} (\nabla\times F)_1&=\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} =0-\bigl(3z^2\,yx\bigr)=-3z^2xy,\\\ (\nabla\times F)_2&=\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} =(x+2zy)-2z^4x =x+2zy-2z^4x,\\\ (\nabla\times F)_3&=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =z^3y - z^2. \end{aligned}
Portanto
\nabla\times F =\bigl(-3z^2xy,\;x+2zy-2z^4x,\;z^3y-z^2\bigr).

Passo 3

(a) Pela via de Stokes, como S é aberto e seu único contorno é a curva
C:\;x^2+y^2=1,\\ z=1,
orientada segundo a normal exterior, temos
\iint_{S}(\nabla\times F)\cdot\eta\,dS =\oint_{C}F\cdot d\mathbf r.
Parametrizamos C por
\mathbf r(t)=(\cos t,\sin t,1),\quad t\in[0,2\pi],
mas é fácil ver que esta parametrização produz um sinal oposto ao induzido pela normal exterior (radial para fora do cilindro), de modo que \oint_{C}F\cdot d\mathbf r no sentido t\searrow é o valor correto.
Ainda assim, podemos calcular para t\nearrow e inverter o sinal.
Em z=1,
F=(2x+y,\;y(x+1),\;x^2),\quad x=\cos t,\;y=\sin t,
e
d\mathbf r=(-\sin t,\cos t,0)\,dt.
Logo, para t crescente,
F\cdot d\mathbf r =-(2\cos t+\sin t)\sin t +\sin t(\cos t+1)\cos t\,dt =-\sin^2t-\sin t\cos t+\sin t\cos^2t.
Integrando de 0 a 2\pi e usando simetria, obtém‐se \displaystyle\oint F\!\cdot d\mathbf r=-\pi.
Como a orientação real é a inversa,
\iint_{S}(\nabla\times F)\cdot\eta\,dS =-\bigl(-\pi\bigr) =\pi.

Passo 4

(b) Pela via do Teorema de Gauss, fechamos S adicionando o disco superior D\!:z=1,\;x^2+y^2\le1. No fecho completo \partial V=S\cup D vale
\iint_{\partial V}(\nabla\times F)\cdot n\,dS =\iiint_{V}\nabla\cdot(\nabla\times F)\,dV =0,
pois \nabla\cdot(\nabla\times F)\equiv0.
Logo
\iint_{S}(\nabla\times F)\cdot\eta\,dS =-\iint_{D}(\nabla\times F)\cdot n_{\!D}\,dS.
Em D, z=1 e n_{D}=(0,0,1), então
(\nabla\times F)\cdot n_{D} =z^3y-z^2\big|_{z=1} =y-1.
Portanto
\iint_{D}(y-1)\,dA =\underbrace{\iint_{D}y\,dA}_{0} -\iint_{D}1\,dA =-\pi,
e assim
\iint_{S}(\nabla\times F)\cdot\eta\,dS =-(-\pi)=\pi.

Resposta

\pi

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