Calcule
, onde
é a união do cilindro
, com a porção do plano
, orientada com vetor normal exterior, e
.
a) Utilizando Teorema de Stokes.
b) Utilizando Teorema de Gauss.
a) Utilizando Teorema de Stokes.
b) Utilizando Teorema de Gauss.
Passo 1
O enunciado pede
– calcular
– calcular
onde
e
é a superfície composta pela parte lateral do cilindro
mais o disco
, ambas orientadas com normal “para fora”.
– pela via (a) do Teorema de Stokes e (b) do Teorema de Gauss.
– pela via (a) do Teorema de Stokes e (b) do Teorema de Gauss.
Conteúdos necessários:
- Cálculo do rotacional
. - Teorema de Stokes
. - Teorema de Gauss aplicado ao campo
, usando .
Passo 2
Calculemos primeiro
.
Aqui
Aqui
Logo
Portanto
Passo 3
(a) Pela via de Stokes, como
é aberto e seu único contorno é a curva
orientada segundo a normal exterior, temos
Parametrizamos
por
mas é fácil ver que esta parametrização produz um sinal oposto ao induzido pela normal exterior (radial para fora do cilindro), de modo que
no sentido
é o valor correto.
Ainda assim, podemos calcular para e inverter o sinal.
Ainda assim, podemos calcular para
Em
,
e
Logo, para
crescente,
Integrando de
a
e usando simetria, obtém‐se
.
Como a orientação real é a inversa,
Como a orientação real é a inversa,
Passo 4
(b) Pela via do Teorema de Gauss, fechamos
adicionando o disco superior
. No fecho completo
vale
pois
.
Logo
Logo
Em
,
e
, então
Portanto
e assim