Calcule \iint_{S}(F \cdot \eta) d S, onde \mathbf{F}(x, y, z)=\left(x, y, x^{2} z\right) e S é a superfície do cilindro (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1 entre os planos z=0 e z=4, com vetor normal apontando para fora de S.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície (fluxo)
\iint_{S}\bigl(\mathbf{F}\cdot\eta\bigr)\,dS
onde \mathbf{F}(x,y,z)=(x,y,x^2z) e S é a superfície lateral do cilindro
(x-1)^2+(y-1)^2=1,\qquad 0\le z\le4,
com a normal unitária apontando para fora. Vamos parametrizar essa superfície e calcular o fluxo usando o método de superfície parametrizada.

Passo 2

Parametrizamos a superfície lateral por
\Phi(\theta,z)=\bigl(1+\cos\theta,\;1+\sin\theta,\;z\bigr),
com \theta\in[0,2\pi] e z\in[0,4]. A normal unitária externa é
\eta(\theta,z) =\frac{\partial_\theta\Phi\times\partial_z\Phi}{\bigl\|\partial_\theta\Phi\times\partial_z\Phi\bigr\|} =\bigl(\cos\theta,\;\sin\theta,\;0\bigr),
e o elemento de área é
dS=\bigl\|\partial_\theta\Phi\times\partial_z\Phi\bigr\|\,d\theta\,dz =1\;d\theta\,dz.

Passo 3

Em \Phi(\theta,z), temos
x=1+\cos\theta, \quad y=1+\sin\theta,
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\mathbf{F}\bigl(\Phi(\theta,z)\bigr) =\bigl(1+\cos\theta,\;1+\sin\theta,\;(1+\cos\theta)^2\,z\bigr).
O produto \mathbf{F}\cdot\eta torna-se
\bigl(1+\cos\theta\bigr)\cos\theta +\bigl(1+\sin\theta\bigr)\sin\theta =\cos\theta+\cos^2\theta+\sin\theta+\sin^2\theta =1+\cos\theta+\sin\theta.

Passo 4

A integral de superfície é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\eta\,dS =\int_{z=0}^{4}\!\int_{\theta=0}^{2\pi}\bigl(1+\cos\theta+\sin\theta\bigr)\,d\theta\,dz.
Primeiro integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta=2\pi, \quad \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0, \quad \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0,
logo o resultado em \theta é 2\pi. Agora integramos em z:
\int_{0}^{4}2\pi\,dz=2\pi\cdot4=8\pi.

Resposta

8\pi

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