Calcule o fluxo do campo vetorial
para fora (direção oposta do eixo z, ou seja, apontando para longe do eixo z ) através da superfície cortada da parte inferior do paraboloide
pelo plano
. Em seguida calcule o volume do sólido delimitado pelas duas superfícies.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície específica e depois encontrar o volume do sólido limitado por essa superfície e um plano. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como fluxo e volume por integrais múltiplas. Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo, campo vetorial, e como calcular integrais de superfície e de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “campo” que passa por essa superfície. Matematicamente, é representado pela integral de superfície de
, onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Nosso campo vetorial é
. A superfície em questão é a parte inferior do paraboloide
cortada pelo plano
. Queremos o fluxo para fora, ou seja, na direção oposta ao eixo
.
Passo 4
Para calcular o fluxo, podemos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial no volume limitado por essa superfície. O teorema diz:
Onde
é a divergência de
.
Passo 5
Vamos calcular a divergência de
:
Passo 6
Agora, precisamos determinar o volume
delimitado pelo paraboloide
e pelo plano
. Esse volume é a região onde
.
Passo 7
Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, onde
,
e
. A divergência é constante, então a integral de volume fica:
Passo 8
Em coordenadas cilíndricas, o volume é:
Integrando em
:
Passo 9
Agora, a integral fica:
Primeiro, integramos em
:
Passo 10
Agora, integramos em
:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da superfície é
e o volume do sólido delimitado pelas duas superfícies é
.