Calcule o fluxo do campo vetorial F = 4x i + 4y j + 2 k para fora (direção oposta do eixo z, ou seja, apontando para longe do eixo z ) através da superfície cortada da parte inferior do paraboloide z = x^2 + y^2 pelo plano z = 1. Em seguida calcule o volume do sólido delimitado pelas duas superfícies.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície específica e depois encontrar o volume do sólido limitado por essa superfície e um plano. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como fluxo e volume por integrais múltiplas. Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo, campo vetorial, e como calcular integrais de superfície e de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “campo” que passa por essa superfície. Matematicamente, é representado pela integral de superfície de , onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Nosso campo vetorial é . A superfície em questão é a parte inferior do paraboloide cortada pelo plano . Queremos o fluxo para fora, ou seja, na direção oposta ao eixo .

Passo 4

Para calcular o fluxo, podemos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial no volume limitado por essa superfície. O teorema diz:
Onde é a divergência de .

Passo 5

Vamos calcular a divergência de :

Passo 6

Agora, precisamos determinar o volume delimitado pelo paraboloide e pelo plano . Esse volume é a região onde .

Passo 7

Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, onde , e . A divergência é constante, então a integral de volume fica:

Passo 8

Em coordenadas cilíndricas, o volume é:
Integrando em :

Passo 9

Agora, a integral fica:
Primeiro, integramos em :

Passo 10

Agora, integramos em :

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é e o volume do sólido delimitado pelas duas superfícies é .

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