Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo externo do campo
através da fronteira da região
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e uma região
definida por
. A pergunta é para calcular o fluxo externo desse campo através da fronteira de
usando o Teorema da Divergência.
Conteúdo da matéria: Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.
O que vamos precisar:
- Calcular a divergência do campo
. - Configurar a integral tripla sobre a região
usando coordenadas apropriadas. - Resolver a integral para encontrar o fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
Usando a regra do produto:
De forma similar, temos:
Passo 4
Somando as três derivadas parciais para obter a divergência:
Simplificando:
Onde
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que diz:
Substituindo a divergência que encontramos:
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
Passo 6
Definindo os limites de integração em coordenadas esféricas:
-
varia de a (pois ) -
varia de a -
varia de a
Então, a integral fica:
Simplificando:
Passo 7
Calculando as integrais internas:
Substituindo de volta na integral do fluxo:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral de
:
Aplicando os limites:
Resposta
Multiplicando todos os fatores:
Portanto, o fluxo externo do campo
através da fronteira da região
é
.