Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo externo do campo F(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2 + z^2) * (x, y, z) através da fronteira da região D = {1 <= x^2 + y^2 + z^2 <= 2}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e uma região definida por . A pergunta é para calcular o fluxo externo desse campo através da fronteira de usando o Teorema da Divergência.
Conteúdo da matéria: Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.
O que vamos precisar:
  1. Calcular a divergência do campo .
  2. Configurar a integral tripla sobre a região usando coordenadas apropriadas.
  3. Resolver a integral para encontrar o fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
Usando a regra do produto:
De forma similar, temos:

Passo 4

Somando as três derivadas parciais para obter a divergência:
Simplificando:
Onde .

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que diz:
Substituindo a divergência que encontramos:
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, onde:

Passo 6

Definindo os limites de integração em coordenadas esféricas:
  • varia de a (pois )
  • varia de a
  • varia de a
Então, a integral fica:
Simplificando:

Passo 7

Calculando as integrais internas:
Substituindo de volta na integral do fluxo:

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral de :
Aplicando os limites:

Resposta

Multiplicando todos os fatores:
Portanto, o fluxo externo do campo através da fronteira da região é .

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