Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^infty 4x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa integral que você mandou: . O lance aqui é saber se essa integral “fecha” ou se vai pra infinito, ou seja, se ela é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como o limite superior da integral é infinito, a gente transforma essa integral imprópria em um limite. Então, reescrevemos a integral assim:
integral0^infty 4x+1 , dx = limb to infty integral0^b 4x+1 , dx
Isso ajuda a gente a calcular a integral usando limites.

Passo 3

Agora, vamos integrar a função integral 4x+1 , dx = 4 ln|x+1| + C . A antiderivada de é , então multiplicando pelo 4, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos agora avaliar essa antiderivada entre 0 e limb to infty [ 4 ln(b+1) - 4 ln(1) ] = limb to infty 4 ln(b+1) , e depois tirar o limite quando vai para infinito:
Como cresce sem limite conforme vai para infinito, o limite aqui também vai para infinito.

Passo 5

Como o limite da integral vai para infinito, isso significa que a integral não “fecha” ou seja, é divergente. Não tem um valor finito pro qual a integral converge.

Resposta

A integral é divergente.

Exercícios relacionados