Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa integral que você mandou:
. O lance aqui é saber se essa integral “fecha” ou se vai pra infinito, ou seja, se ela é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, como o limite superior da integral é infinito, a gente transforma essa integral imprópria em um limite. Então, reescrevemos a integral assim:
Isso ajuda a gente a calcular a integral usando limites.
Passo 3
Agora, vamos integrar a função
. A antiderivada de
é
, então multiplicando pelo 4, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos agora avaliar essa antiderivada entre 0 e
, e depois tirar o limite quando
vai para infinito:
Como
cresce sem limite conforme
vai para infinito, o limite aqui também vai para infinito.
Passo 5
Como o limite da integral vai para infinito, isso significa que a integral não “fecha” ou seja, é divergente. Não tem um valor finito pro qual a integral converge.
Resposta
A integral é divergente.