Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^1 d xraiz9-x^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido na questão. Precisamos determinar se a integral é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos calcular o seu valor. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais que envolvem radicais no denominador.

Passo 2

Vamos analisar a função dentro da integral: . Precisamos verificar se essa função é definida e contínua no intervalo de integração de 0 a 1.

Passo 3

O denominador 9 - x^2 >= 0 implies x^2 <= 9 implies -3 <= x <= 3 está definido quando . Resolvendo essa desigualdade:
Como o intervalo de integração é de 0 a 1, que está dentro de , a função está bem definida e contínua nesse intervalo. Portanto, não há descontinuidades ou comportamentos que tornem a integral divergente.

Passo 4

Como a função é contínua no intervalo de 0 a 1, a integral é convergente. Agora, vamos calcular o valor dessa integral.

Passo 5

Para resolver a integral x = 3 sin theta implies dx = 3 cos theta , dtheta , podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos fazer:
integral 3 cos theta , dthetaraiz9 - 9 sin^2 theta = integral 3 cos theta , dtheta3 cos theta = integral dtheta
Substituindo na integral:

Passo 6

A integral de x = 3 sin theta implies theta = arcsin(x3) é simplesmente arcsin(x3) + C . Agora, precisamos voltar à variável original . Sabemos que:
Então, a integral se torna:

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
arcsin(x3) |0^1 = arcsin(13) - arcsin(0) = arcsin(13) - 0 = arcsin(13)

Resposta

A integral é convergente e o seu valor é .

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