Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido na questão. Precisamos determinar se a integral é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos calcular o seu valor. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais que envolvem radicais no denominador.
Passo 2
Vamos analisar a função dentro da integral: . Precisamos verificar se essa função é definida e contínua no intervalo de integração de 0 a 1.
Passo 3
O denominador está definido quando . Resolvendo essa desigualdade:
Como o intervalo de integração é de 0 a 1, que está dentro de , a função está bem definida e contínua nesse intervalo. Portanto, não há descontinuidades ou comportamentos que tornem a integral divergente.
Passo 4
Como a função é contínua no intervalo de 0 a 1, a integral é convergente. Agora, vamos calcular o valor dessa integral.
Passo 5
Para resolver a integral , podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos fazer:
Substituindo na integral:
Passo 6
A integral de é simplesmente . Agora, precisamos voltar à variável original . Sabemos que: