Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
fronteira do sólido
limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
de duas maneiras:
4.a) Por cálculo direto.
4.b) Mediante o terorema da divergência.
4.a) Por cálculo direto.
4.b) Mediante o terorema da divergência.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
através da superfície fechada
que é a fronteira do sólido
limitado pelo cilindro
, pelo plano inferior
e pelo plano superior
. Faremos isso de duas formas: (a) cálculo direto dividindo
em três partes, e (b) aplicando o Teorema da Divergência, que diz que
Passo 2
Para o método direto, separamos a superfície
em três pedaços:
-
é a superfície lateral do cilindro , com . -
é o disco inferior no plano , com . -
é a parte superior oblíqua no plano , sobre o mesmo disco projetado.
Passo 3
Cálculo do fluxo em
.
Parametrizamos
Temos
que já aponta para fora do cilindro. Então
O produto interno é
Assim
Passo 4
Cálculo do fluxo em
.
Aqui
, o disco de raio 1, e o normal exterior é
. Num ponto
temos
, logo
Logo
Passo 5
Cálculo do fluxo em
.
Parametrizamos pela projeção
em
, com
Então
que aponta para fora (acima do plano, já que o volume está abaixo). Em cada ponto
Portanto
Passo 6
Somando os três fluxos do método direto:
Passo 7
Pelo Teorema da Divergência, primeiro calculamos
Passo 8
Precisamos do volume de
. No cilindro
o teto é
e o chão é
. Logo
Como
é simétrico,
, então
Passo 9
O fluxo pelo Teorema da Divergência é