Calcule o fluxo do campo vetorial
\overrightarrow{\mathbf{F}}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}
através da superfície S fronteira do sólido E limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 e pelos planos z=0 e x+y+z=3 de duas maneiras:
4.a) Por cálculo direto.
4.b) Mediante o terorema da divergência.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
\overrightarrow{\mathbf{F}} = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + z\,\mathbf{k}
através da superfície fechada S que é a fronteira do sólido E limitado pelo cilindro x^2+y^2=1, pelo plano inferior z=0 e pelo plano superior x+y+z=3. Faremos isso de duas formas: (a) cálculo direto dividindo S em três partes, e (b) aplicando o Teorema da Divergência, que diz que
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} \;=\;\iiint_{E}(\nabla\!\cdot\mathbf{F})\,dV.

Passo 2

Para o método direto, separamos a superfície S em três pedaços:
  • S_1 é a superfície lateral do cilindro x^2+y^2=1, com 0\le z\le 3 - x - y.
  • S_2 é o disco inferior no plano z=0, com x^2+y^2\le1.
  • S_3 é a parte superior oblíqua no plano x+y+z=3, sobre o mesmo disco projetado.

Passo 3

Cálculo do fluxo em S_1.
Parametrizamos
\mathbf{r}(\theta,z) = (\cos\theta,\;\sin\theta,\;z), \quad 0\le\theta\le2\pi,\; 0\le z\le 3-\cos\theta-\sin\theta.
Temos
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z = (-\sin\theta,\cos\theta,0)\times(0,0,1) =(\cos\theta,\sin\theta,0),
que já aponta para fora do cilindro. Então
d\mathbf{S}=(\cos\theta,\sin\theta,0)\,d\theta\,dz, \quad \mathbf{F}(\mathbf{r})=(\cos\theta,\sin\theta,z).
O produto interno é
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\,d\theta\,dz =1\;d\theta\,dz.
Assim
\Phi_1 =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3-\cos\theta-\sin\theta}1\,dz\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}(3-\cos\theta-\sin\theta)\,d\theta =6\pi.

Passo 4

Cálculo do fluxo em S_2.
Aqui z=0, o disco de raio 1, e o normal exterior é (0,0,-1). Num ponto (x,y,0) temos \mathbf{F}=(x,y,0), logo
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =(x,y,0)\cdot(0,0,-1)\,dA=0.
Logo
\Phi_2=0.

Passo 5

Cálculo do fluxo em S_3.
Parametrizamos pela projeção (x,y) em x^2+y^2\le1, com
z=3-x-y, \quad \mathbf{r}(x,y)=(x,y,3-x-y).
Então
\mathbf{r}_x=(1,0,-1), \quad \mathbf{r}_y=(0,1,-1),
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y=(1,1,1),
que aponta para fora (acima do plano, já que o volume está abaixo). Em cada ponto
\mathbf{F}=(x,y,3-x-y), \quad \mathbf{F}\cdot(\!1,1,1)=x+y+(3-x-y)=3.
Portanto
\Phi_3 =\iint_{x^2+y^2\le1}3\,dA =3\cdot\pi\cdot1^2 =3\pi.

Passo 6

Somando os três fluxos do método direto:
\Phi =\Phi_1+\Phi_2+\Phi_3 =6\pi+0+3\pi =9\pi.

Passo 7

Pelo Teorema da Divergência, primeiro calculamos
\nabla\!\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z} =1+1+1=3.

Passo 8

Precisamos do volume de E. No cilindro x^2+y^2\le1 o teto é z=3-x-y e o chão é z=0. Logo
\mathrm{Vol}(E) =\iint_{x^2+y^2\le1}(3-x-y)\,dA.
Como D\colon x^2+y^2\le1 é simétrico, \iint_D x\,dA=\iint_D y\,dA=0, então
\mathrm{Vol}(E)=3\iint_D1\,dA=3\pi.

Passo 9

O fluxo pelo Teorema da Divergência é
\Phi =\iiint_{E}3\,dV =3\cdot\mathrm{Vol}(E) =3\cdot3\pi =9\pi.

Resposta

\Phi = 9\pi.

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