Faça o que se pede em cada item.
Calcule a integral
\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{x / y} d y d x
mudando a ordem de integração.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}e^{x/y}\,dy\,dx
mudando a ordem de integração.
O conteúdo envolve representarmos a região de integração no plano (x,y), aplicarmos o Teorema de Fubini para trocar as integrais e depois calcular cada uma.

Passo 2

Primeiro identificamos a região
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x\le y\le1\}.
Em palavras, é o conjunto de pontos entre a reta y=x e a reta y=1, com x variando de 0 a 1.
Para trocar a ordem, fazemos y variar do mínimo até o máximo: y vai de 0 até 1. Para cada y fixo, x vai de 0 até y.

Passo 3

Reescrevendo a integral com a ordem trocada, obtemos
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}e^{x/y}\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\!\Bigl(\int_{0}^{y}e^{x/y}\,dx\Bigr)dy.

Passo 4

Agora calculamos a integral interna
\int_{0}^{y}e^{x/y}\,dx.
Fazendo a substituição u = x/y, temos dx = y\,du, e quando x=0 vem u=0, quando x=y vem u=1. Então
\int_{0}^{y}e^{x/y}\,dx =\int_{0}^{1}e^{u}\,y\,du =y\int_{0}^{1}e^{u}\,du =y\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} =y\,(e-1).

Passo 5

Substituindo esse resultado na integral externa, fica
\int_{0}^{1}y\,(e-1)\,dy =(e-1)\int_{0}^{1}y\,dy =(e-1)\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{e-1}{2}.

Resposta

\frac{e-1}{2}.

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