Determine o maior conjunto de pontos em que a função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir quais pontos do plano fazem com que a função seja diferenciável. Para isso, vamos precisar entender o que é diferenciabilidade e como ela funciona para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tem todas as derivadas parciais nesse ponto e se ela pode ser bem aproximada por um plano nesse ponto. No nosso caso, a função [f(x, y)) é definida de duas formas:
Isso significa que precisamos verificar a diferenciabilidade em todos os pontos , onde a definição muda.
Passo 3
Vamos começar observando que para todos os pontos onde (x, y) neq (0,0) , a função f(x, y) é composta por polinômios no numerador e denominador (exceto na origem). Como funções racionais são diferenciáveis em seus domínios de definição, isso já nos dá a pista de que a função é diferenciável em todos os pontos diferentes de (0,0) .
Passo 4
Agora, o grande desafio é analisar a diferenciabilidade no ponto (0,0) . Para isso, precisamos verificar se as derivadas parciais existem nesse ponto e se a função se comporta de maneira linear perto de (0,0) .
Vamos calcular as derivadas parciais em (0,0) :
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0
fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0
Então, as derivadas parciais existem e são iguais a zero no ponto (0,0) .
Passo 5
Mesmo com as derivadas parciais existentes, precisamos verificar se a função é realmente diferenciável no ponto (0,0) . Para isso, utilizamos a definição de diferenciabilidade, que requer que:
lim(h,k) to (0,0) h k^3h^2+k^2 - 0 - 0 cdot h - 0 cdot kraizh^2 + k^2 = lim(h,k) to (0,0) h k^3(h^2+k^2)^3/2
Vamos analisar esse limite. Se escolhermos k = h , por exemplo, temos:
h (h)^3(h^2+h^2)^3/2 = h^4(2h^2)^3/2 = h^42^3/2 h^3 = h2^3/2 to 0 quando h to 0
No entanto, se escolhermos k = h^1/3 , o limite não tende a zero, o que significa que a função não se aproxima de uma forma linear nesse caminho.
Passo 6
Como o limite depende do caminho pelo qual (h, k) se aproxima de (0,0) , concluímos que o limite não existe de forma independente do caminho. Portanto, a função f(x, y) não é diferenciável no ponto (0,0) .
Resposta
O maior conjunto de pontos em que a função f(x, y) é diferenciável é todo o plano R^2 menos o ponto (0,0) .