Determine os valores de A3, A2, A1 e A0 que satisfazem a seguinte equação polinomial:
& (6 A3 t+2 A2)-6(3 A3 t^2+2 A2 t+A1)+25(A3 t^3+A2 t^2+A1 t+A0) & =50 t^3-36 t^2-63 t+18

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação polinomial com termos que envolvem A3, A2, A1 e A0 . Nosso objetivo é encontrar os valores desses coeficientes que fazem a equação ser verdadeira. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra, especificamente sobre como manipular e comparar coeficientes de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão que está do lado esquerdo da equação. Isso significa distribuir os termos dentro dos parênteses:
(6 A3 t + 2 A2) - 6(3 A3 t^2 + 2 A2 t + A1) + 25(A3 t^3 + A2 t^2 + A1 t + A0)
Distribuindo os sinais e multiplicando:
6 A3 t + 2 A2 - 18 A3 t^2 - 12 A2 t - 6 A1 + 25 A3 t^3 + 25 A2 t^2 + 25 A1 t + 25 A0

Passo 3

Agora, vamos reunir os termos semelhantes para simplificar a expressão. Isso quer dizer juntar os termos que têm a mesma potência de t :
25 A3 t^3 + (-18 A3 + 25 A2) t^2 + (6 A3 - 12 A2 + 25 A1) t + (2 A2 - 6 A1 + 25 A0)

Passo 4

A próxima etapa é igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação. Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para encontrar A3, A2, A1 e A0 :
25 A3 = 50 -18 A3 + 25 A2 = -36 6 A3 - 12 A2 + 25 A1 = -63 2 A2 - 6 A1 + 25 A0 = 18

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela primeira equação:
25 A3 = 50 implies A3 = 5025 = 2
Agora, substituímos A3 = 2 na segunda equação:
-18(2) + 25 A2 = -36 implies -36 + 25 A2 = -36 implies 25 A2 = 0 implies A2 = 0
Com A3 = 2 e A2 = 0 , vamos para a terceira equação:
6(2) - 12(0) + 25 A1 = -63 implies 12 + 0 + 25 A1 = -63 implies 25 A1 = -75 implies A1 = -3
Finalmente, substituímos A2 = 0 e A1 = -3 na quarta equação:
2(0) - 6(-3) + 25 A0 = 18 implies 0 + 18 + 25 A0 = 18 implies 25 A0 = 0 implies A0 = 0

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são:
A3 = 2, A2 = 0, A1 = -3, A0 = 0

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