Calcule o fluxo do campo vetorial sobre a superfície cônica dada por , orientada para cima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular o fluxo de um campo vetorial sobre uma superfície cônica definida por , no intervalo , e orientada para cima.
Esse problema está ligado ao cálculo vetorial, mais especificamente ao conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O que a gente precisa fazer é determinar quanto “fluxo” do campo passa através dessa superfície cônica .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície cônica . A equação descreve um cone circular reto com vértice na origem e que se abre para cima. O intervalo nos diz que estamos considerando apenas a parte do cone que vai do vértice até uma altura de 2 unidades.
Passo 3
Para calcular o fluxo, precisamos parametrizar a superfície . Uma boa maneira de fazer isso é usando coordenadas cilíndricas, onde , e (já que ).
Então, podemos definir a parametrização , onde varia de 0 a 2 e varia de 0 a .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície, que são as derivadas parciais da parametrização em relação a e :
Passo 5
O próximo passo é encontrar o vetor normal à superfície, que é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Calculando o determinante:
n = ( (sin theta)(0) - (1)(r cos theta) ) i - ( (cos theta)(0) - (1)(-r sin theta) ) j + ( (cos theta)(r cos theta) - (sin theta)(-r sin theta) ) k
Simplificando:
n = (-r cos theta) i - (r sin theta) j + (r cos^2 theta + r sin^2 theta) k
n = (-r cos theta, -r sin theta, r (cos^2 theta + sin^2 theta))
n = (-r cos theta, -r sin theta, r)
Passo 6
Agora, precisamos da expressão do campo vetorial F na parametrização da superfície. Substituindo x = r cos theta, y = r sin theta e z = r em F(x, y, z):
F = (y, -x, z) = (r sin theta, -r cos theta, r)
Passo 7
O fluxo Phi é dado pela integral dupla do produto escalar entre F e o vetor normal n:
Phi = integral duplaS F cdot n , dS
Substituindo as expressões que encontramos:
F cdot n = (r sin theta)(-r cos theta) + (-r cos theta)(-r sin theta) + (r)(r)
= -r^2 sin theta cos theta + r^2 sin theta cos theta + r^2
= r^2
Já que o produto escalar simplificou para r^2, e o elemento de área em coordenadas cilíndricas é |n| dr dtheta. Porém, neste caso, já incorporamos n no produto escalar, então o elemento de área é apenas dr dtheta.
Passo 8
Agora, a integral fica:
Phi = integral0^2pi integral0^2 r^2 , dr , dtheta
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a r: