Calcule o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=(y,-x, z) sobre a superfície cônica S dada por z=raizx^2+y^2, 0 <= z <= 2, orientada para cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular o fluxo de um campo vetorial F(x, y, z) = (y, -x, z) sobre uma superfície cônica S definida por z = raizx^2 + y^2, no intervalo 0 <= z <= 2, e orientada para cima.
Esse problema está ligado ao cálculo vetorial, mais especificamente ao conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O que a gente precisa fazer é determinar quanto “fluxo” do campo F passa através dessa superfície cônica S.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície cônica S. A equação z = raizx^2 + y^2 descreve um cone circular reto com vértice na origem e que se abre para cima. O intervalo 0 <= z <= 2 nos diz que estamos considerando apenas a parte do cone que vai do vértice até uma altura de 2 unidades.

Passo 3

Para calcular o fluxo, precisamos parametrizar a superfície S. Uma boa maneira de fazer isso é usando coordenadas cilíndricas, onde x = r cos theta, y = r sin theta e z = r (já que z = raizx^2 + y^2 = r).
Então, podemos definir a parametrização r(r, theta) = (r cos theta, r sin theta, r), onde r varia de 0 a 2 e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície, que são as derivadas parciais da parametrização em relação a r e theta:
rr = partial rpartial r = (cos theta, sin theta, 1)
rtheta = partial rpartial theta = (-r sin theta, r cos theta, 0)

Passo 5

O próximo passo é encontrar o vetor normal à superfície, que é o produto vetorial desses vetores tangentes:
n = rr times rtheta = i & j & k cos theta & sin theta & 1 - r sin theta & r cos theta & 0
Calculando o determinante:
n = ( (sin theta)(0) - (1)(r cos theta) ) i - ( (cos theta)(0) - (1)(-r sin theta) ) j + ( (cos theta)(r cos theta) - (sin theta)(-r sin theta) ) k
Simplificando:
n = (-r cos theta) i - (r sin theta) j + (r cos^2 theta + r sin^2 theta) k
n = (-r cos theta, -r sin theta, r (cos^2 theta + sin^2 theta))
n = (-r cos theta, -r sin theta, r)

Passo 6

Agora, precisamos da expressão do campo vetorial F na parametrização da superfície. Substituindo x = r cos theta, y = r sin theta e z = r em F(x, y, z):
F = (y, -x, z) = (r sin theta, -r cos theta, r)

Passo 7

O fluxo Phi é dado pela integral dupla do produto escalar entre F e o vetor normal n:
Phi = integral duplaS F cdot n , dS
Substituindo as expressões que encontramos:
F cdot n = (r sin theta)(-r cos theta) + (-r cos theta)(-r sin theta) + (r)(r)
= -r^2 sin theta cos theta + r^2 sin theta cos theta + r^2
= r^2
Já que o produto escalar simplificou para r^2, e o elemento de área em coordenadas cilíndricas é |n| dr dtheta. Porém, neste caso, já incorporamos n no produto escalar, então o elemento de área é apenas dr dtheta.

Passo 8

Agora, a integral fica:
Phi = integral0^2pi integral0^2 r^2 , dr , dtheta
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^2 r^2 , dr = [ r^33 ]0^2 = 83
Agora, integramos em relação a theta:
Phi = integral0^2pi 83 , dtheta = 83 cdot 2pi = 16pi3

Resposta

O fluxo do campo vetorial F sobre a superfície cônica S é dfrac16pi3.

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