Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha
, onde
é a elipse
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é a elipse definida por
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha com integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial
associado à integral de linha. A integral dada pode ser escrita como:
Passo 3
O Teorema de Stokes nos diz que:
Aqui,
é uma superfície limitada pela curva
,
é o rotacional de
, e
é o vetor normal à superfície
.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Substituindo as componentes de
:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos escolher uma superfície
que tenha
como borda. Como
está no plano
e é uma elipse, podemos escolher essa própria elipse como nossa superfície plana.
O vetor normal
para uma superfície plana no plano
é simplesmente
, já que está na direção positiva do eixo
.
Passo 6
Aplicando o Teorema de Stokes:
Substituindo
e
:
Passo 7
Então, a integral de superfície fica:
Como
é uma elipse com equações
, a área
de uma elipse é dada por:
Onde
e
são os semi-eixos da elipse. No nosso caso,
e
.
Passo 8
Calculando a área: