Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha integralgamma(x+z) d x+(x-y) d y+x d z, onde gamma é a elipse x^24+y^29=1, z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. A gente precisa calcular a integral de linha integralgamma(x+z) , dx + (x - y) , dy + x , dz, onde gamma é a elipse definida por x^24 + y^29 = 1 e z = 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha com integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F associado à integral de linha. A integral dada pode ser escrita como:
F = (x + z, , x - y, , x)

Passo 3

O Teorema de Stokes nos diz que:
ointgamma F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Aqui, S é uma superfície limitada pela curva gamma, nabla times F é o rotacional de F, e n é o vetor normal à superfície S.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de F, que é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, , partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, , partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Substituindo as componentes de F:
partial Fzpartial y &= partial xpartial y = 0 partial Fypartial z &= partial (x - y)partial z = 0 partial Fxpartial z &= partial (x + z)partial z = 1 partial Fzpartial x &= partial xpartial x = 1 partial Fypartial x &= partial (x - y)partial x = 1 partial Fxpartial y &= partial (x + z)partial y = 0
Então,
nabla times F = (0 - 0, , 1 - 1, , 1 - 0) = (0, , 0, , 1)

Passo 5

Agora, precisamos escolher uma superfície S que tenha gamma como borda. Como gamma está no plano z = 1 e é uma elipse, podemos escolher essa própria elipse como nossa superfície plana.
O vetor normal n para uma superfície plana no plano z = 1 é simplesmente (0, 0, 1), já que está na direção positiva do eixo z.

Passo 6

Aplicando o Teorema de Stokes:
ointgamma F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo nabla times F = (0, 0, 1) e n = (0, 0, 1):
(nabla times F) cdot n = 0 cdot 0 + 0 cdot 0 + 1 cdot 1 = 1

Passo 7

Então, a integral de superfície fica:
integral duplaS 1 , dS = Área de S Á
Como S é uma elipse com equações x^24 + y^29 = 1, a área A de uma elipse é dada por:
A = pi times a times b
Onde a e b são os semi-eixos da elipse. No nosso caso, a = 2 e b = 3.

Passo 8

Calculando a área:
A = pi times 2 times 3 = 6pi

Resposta

ointgamma (x + z) , dx + (x - y) , dy + x , dz = 6pi

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