Considere o sinal
, que consiste em um único impulso retangular de altura unitária, simétrico em relação à origem e tem uma largura total
.
(c) Calcule
, a transformada de Fourier de
. Esquema
para
(c) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício sobre transformada de Fourier. O que temos é um sinal
que é um impulso retangular com altura 1, simétrico em relação à origem e com largura total
. Precisamos calcular
, que é a transformada de Fourier desse sinal, e depois esboçar o módulo
para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela transforma um sinal do domínio do tempo
para o domínio da frequência
. A fórmula geral é:
No nosso caso,
é um retângulo, então essa integral vai ser calculada apenas entre os limites onde o retângulo é diferente de zero.
Passo 3
Como
é um retângulo simétrico com largura total
, isso significa que ele vale 1 no intervalo de
a
e zero fora desse intervalo. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa integral. A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 5
Simplificando a expressão acima, reconhecemos que:
Substituindo
:
Passo 6
Podemos escrever isso de forma mais compacta usando a função sinc, que é definida como:
Assim, a transformada de Fourier fica:
Passo 7
Agora, precisamos esboçar o módulo
para
. Sabemos que a função sinc tem picos em
e nulos em
, etc. O pico central terá amplitude máximo
.
Resposta
A transformada de Fourier de
é:
E o esboço de
para
apresenta um pico central de amplitude
com zeros nos pontos
.