Considere o sinal x(t), que consiste em um único impulso retangular de altura unitária, simétrico em relação à origem e tem uma largura total T.
(c) Calcule X(w), a transformada de Fourier de x(t). Esquema |X(w)| para |omega| <= 6 pi / T

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício sobre transformada de Fourier. O que temos é um sinal x(t) que é um impulso retangular com altura 1, simétrico em relação à origem e com largura total T . Precisamos calcular X(omega) , que é a transformada de Fourier desse sinal, e depois esboçar o módulo |X(omega)| para |omega| <= 6piT .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela transforma um sinal do domínio do tempo t para o domínio da frequência omega . A fórmula geral é:
X(omega) = integral-infty^infty x(t) e^-jomega t dt
No nosso caso, x(t) é um retângulo, então essa integral vai ser calculada apenas entre os limites onde o retângulo é diferente de zero.

Passo 3

Como x(t) é um retângulo simétrico com largura total T , isso significa que ele vale 1 no intervalo de -T2 a T2 e zero fora desse intervalo. Então, a integral fica:
X(omega) = integral-T2^T2 e^-jomega t dt

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. A integral de e^-jomega t em relação a t é:
integral e^-jomega t dt = e^-jomega t-jomega + C
Aplicando os limites de -T2 a T2 :
X(omega) = [ e^-jomega t-jomega ]-T2^T2 = e^-jomega T2 - e^jomega T2-jomega

Passo 5

Simplificando a expressão acima, reconhecemos que:
e^-jtheta - e^jtheta = -2j sin(theta)
Substituindo theta = omega T2 :
X(omega) = -2j sin(omega T2)-jomega = 2 sin(omega T2)omega

Passo 6

Podemos escrever isso de forma mais compacta usando a função sinc, que é definida como:
sinc(x) = sin(x)x
Assim, a transformada de Fourier fica:
X(omega) = 2 T cdot sinc(omega T2)

Passo 7

Agora, precisamos esboçar o módulo |X(omega)| para |omega| <= 6piT . Sabemos que a função sinc tem picos em omega = 0 e nulos em omega = pm 2piT, pm 4piT, pm 6piT , etc. O pico central terá amplitude máximo 2T .

Resposta

A transformada de Fourier de x(t) é:
X(omega) = 2 T cdot sinc(omega T2)
E o esboço de |X(omega)| para |omega| <= 6piT apresenta um pico central de amplitude 2T com zeros nos pontos omega = pm 2piT, pm 4piT, pm 6piT .

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