Calcule a integral de superfície integralegral duplaS z^2 d S onde S é a área total do cone raizx^2+y^2 <= z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de superfície integral duplaS z^2 , dS, onde S é a área total de um cone definido por raizx^2+y^2 <= z <= 2. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas cilíndricas, porque o cone tem simetria circular, o que facilita nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a superfície do cone. A equação raizx^2+y^2 = z descreve um cone de vértice na origem que se abre para cima. Como z varia de raizx^2+y^2 até 2, estamos considerando a parte do cone que vai da base no plano z = 0 até a altura z = 2.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque elas se adaptam bem a essa geometria. Em coordenadas cilíndricas, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E a área diferencial em coordenadas cilíndricas para uma superfície z = f(r, theta) é dada por:
dS = raiz(partial zpartial r)^2 + (partial zpartial theta)^2 + 1 , r , dr , dtheta
No nosso caso, z = r, então:
partial zpartial r = 1 e partial zpartial theta = 0
Portanto, a área diferencial fica:
dS = raiz1^2 + 0^2 + 1 , r , dr , dtheta = raiz2 , r , dr , dtheta

Passo 4

Vamos agora expressar a integral de superfície em coordenadas cilíndricas:
integral duplaS z^2 , dS = integral0^2pi integral0^2 z^2 cdot raiz2 , r , dr , dtheta
Mas como z = r no cone, substituímos:
integral duplaS z^2 , dS = integral0^2pi integral0^2 r^2 cdot raiz2 , r , dr , dtheta = raiz2 integral0^2pi integral0^2 r^3 , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em r:
integral0^2 r^3 , dr = [ r^44 ]0^2 = 164 - 0 = 4
Agora, substituímos de volta na integral externa:
raiz2 integral0^2pi 4 , dtheta = 4raiz2 integral0^2pi , dtheta = 4raiz2 cdot 2pi = 8raiz2 pi

Resposta

A integral de superfície integral duplaS z^2 , dS é igual a 8raiz2 pi.

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