Calcule a integral de superfície
onde
é a área total do cone
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de superfície
, onde
é a área total de um cone definido por
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas cilíndricas, porque o cone tem simetria circular, o que facilita nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a superfície do cone. A equação
descreve um cone de vértice na origem que se abre para cima. Como
varia de
até 2, estamos considerando a parte do cone que vai da base no plano
até a altura
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque elas se adaptam bem a essa geometria. Em coordenadas cilíndricas, temos:
E a área diferencial em coordenadas cilíndricas para uma superfície
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Portanto, a área diferencial fica:
Passo 4
Vamos agora expressar a integral de superfície em coordenadas cilíndricas:
Mas como
no cone, substituímos:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em
:
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.