Esboce a equação polar em coordenadas cartesianas e, depois, em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva definida em coordenadas polares por
O conteúdo é a conversão entre coordenadas polares e cartesianas e o reconhecimento de que essa curva é a espiral de Arquimedes. Preciso usar
- as fórmulas
e para passar ao plano cartesiano; - o próprio gráfico polar
para esboçar na malha polar.
Passo 2
Para obter a forma paramétrica em Cartesianas, substituo
em
Logo a curva fica
Passo 3
Se eu quiser uma equação implícita no plano
, uso ainda
Logo
com a observação que essa forma vale por setores (função multivalorada de
), mas mostra implicitamente a relação.
Passo 4
Esboço em coordenadas cartesianas: escolho alguns valores de
e ploto
:
-
no origem. -
. -
. -
. -
.
Ligando esses pontos suavemente com voltas que se afastam do centro, surge a espiral que gira no sentido anti-hor’ario, com espa\c{c}amento quase constante entre voltas.
Passo 5
Esbo\c{c}o em coordenadas polares: tra\c{c}o o semieixo polar
, depois para cada
marco um ponto `a dist^ancia
da origem, girando no sentido anti-hor’ario. `A medida que
cresce,
cresce linearmente, formando uma espiral de Arquimedes com bra\c{c}os igualmente espa\c{c}ados.
Resposta
Em Cartesianas (paramétrica):
Em Cartesianas (implícita):
Gráfico é a espiral de Arquimedes que parte da origem e gira para
.
Em polares: ,
, o mesmo espiral desenhado diretamente na malha polar.
Em polares: