Esboce a equação polar em coordenadas cartesianas e, depois, em coordenadas polares.
r=theta, theta >= 0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva definida em coordenadas polares por
r = theta, theta >= 0
O conteúdo é a conversão entre coordenadas polares e cartesianas e o reconhecimento de que essa curva é a espiral de Arquimedes. Preciso usar
  • as fórmulas x = rcostheta e y = rsintheta para passar ao plano cartesiano;
  • o próprio gráfico polar r(theta)=theta para esboçar na malha polar.

Passo 2

Para obter a forma paramétrica em Cartesianas, substituo r=theta em
x = rcostheta, y = rsintheta
Logo a curva fica
x(theta) = thetacostheta, y(theta) = thetasintheta, theta>=0

Passo 3

Se eu quiser uma equação implícita no plano (x,y), uso ainda
r = raizx^2+y^2, theta = arctan!l(tfracyxr)
Logo
raizx^2+y^2 ;=; arctan!l(yxr),
com a observação que essa forma vale por setores (função multivalorada de arctan), mas mostra implicitamente a relação.

Passo 4

Esboço em coordenadas cartesianas: escolho alguns valores de theta e ploto (x(theta),y(theta)):
  • theta=0 Rightarrow (0,0) no origem.
  • theta=tfracpi2approx1,57 Rightarrow l(1,57costfracpi2,;1,57sintfracpi2r)approx(0,,1,57).
  • theta=piapprox3,14 Rightarrow l(-3,14,,0r).
  • theta=tfrac3pi2approx4,71 Rightarrow l(0,,-4,71r).
  • theta=2piapprox6,28 Rightarrow l(6,28,,0r).
    Ligando esses pontos suavemente com voltas que se afastam do centro, surge a espiral que gira no sentido anti-hor’ario, com espa\c{c}amento quase constante entre voltas.

Passo 5

Esbo\c{c}o em coordenadas polares: tra\c{c}o o semieixo polar theta=0, depois para cada theta marco um ponto `a dist^ancia r=theta da origem, girando no sentido anti-hor’ario. `A medida que theta cresce, r cresce linearmente, formando uma espiral de Arquimedes com bra\c{c}os igualmente espa\c{c}ados.

Resposta

Em Cartesianas (paramétrica):
x(theta)=thetacostheta, y(theta)=thetasintheta, theta>=0
Em Cartesianas (implícita):
raizx^2+y^2=arctan!l(tfracyxr)
Gráfico é a espiral de Arquimedes que parte da origem e gira para thetato+infty.
Em polares: r=theta, theta>=0, o mesmo espiral desenhado diretamente na malha polar.

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