Para a, b in R, a>0 e b neq 0, calcule o fluxo de campo vetorial F(x, y, z)=y imath+x jmath+b z k sobre a superfície S limite do sólido E delimitada pelo paraboloide z+x^2+y^2=a^2 e o plano z=0.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z)=y,imath+x,jmath+b,z,k
pela superfície fechada S que é o limite do sólido E entre o plano z=0 e o paraboloide
z + x^2 + y^2 = a^2
Como S é uma superfície fechada, podemos usar o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz
integral duplaSFcdot n,dS ;=;integral triplaEnabla!cdot F,dV,
onde n é a normal externa e nabla!cdot F é a divergência de F.

Passo 2

Calcular a divergência de :
Logo,

Passo 3

Agora precisamos do volume de . Em coordenadas cilíndricas , temos
Assim,
Calculando a integral em :
Multiplicando por vem

Passo 4

Finalmente, o fluxo é

Resposta

bpi a^42

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