Sejam F(x, y, z)=(2 x z e^y,-raiz2 x z e^y, raiz2 y+z),(x, y, z) in R^3, e S é a parte do plano x+raiz2 y+z=1 do primeiro octante, x, y, z >= 0, com orientação para cima. Calcule integral duplaS F cdot d S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de cálculo vetorial envolvendo integrais de superfície. A gente vai calcular a integral dupla de um campo vetorial F sobre uma superfície S que é parte de um plano no primeiro octante (onde x, y, z >= 0 ) e com orientação para cima. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campos vetoriais, integrais de superfície e um pouco de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície S . Ela é a parte do plano x + raiz2y + z = 1 no primeiro octante. Como z está isolado na equação, podemos reescrever z em função de x e y :
z = 1 - x - raiz2y
Isso nos ajuda a parametrizar a superfície em termos de x e y .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície S . A orientação é para cima, então queremos que a componente z do vetor normal seja positiva. A equação do plano x + raiz2y + z = 1 nos dá os coeficientes para o vetor normal:
n = (1, raiz2, 1)
Esse vetor indica a direção perpendicular à superfície.

Passo 4

A seguir, vamos calcular o elemento de área diferencial dS . Como já temos o vetor normal, podemos expressar dS como:
dS = n , dx , dy = (1, raiz2, 1) , dx , dy
Isso simplifica o cálculo da integral, pois agora temos uma expressão clara para dS .

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o campo vetorial F e dS :
F cdot dS = (2xz e^y, -raiz2xz e^y, raiz2y + z) cdot (1, raiz2, 1)
Fazendo o produto escalar:
2xz e^y cdot 1 + (-raiz2xz e^y) cdot raiz2 + (raiz2y + z) cdot 1
Simplificando:
2xz e^y - 2xz e^y + raiz2y + z = raiz2y + z
Interessante, os termos com xz e^y se cancelam!

Passo 6

Lembrando que z = 1 - x - raiz2y , substituímos na expressão:
raiz2y + (1 - x - raiz2y) = 1 - x
Então, a integral fica muito mais simples:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaR (1 - x) , dx , dy
Onde R é a região no plano xy limitada por x >= 0 , y >= 0 e x + raiz2y <= 1 .

Passo 7

Vamos definir os limites de integração. Para x variando de 0 a 1, y varia de 0 a 1 - xraiz2 . Assim, a integral fica:
integral0^1 integral0^1 - xraiz2 (1 - x) , dy , dx

Passo 8

Calculando a integral interna em relação a y :
integral0^1 - xraiz2 (1 - x) , dy = (1 - x) cdot 1 - xraiz2 = (1 - x)^2raiz2
Agora, a integral dupla reduz para:
integral0^1 (1 - x)^2raiz2 , dx

Passo 9

Resolvendo a integral em relação a x :
1raiz2 integral0^1 (1 - x)^2 , dx
Expande-se (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 , então:
1raiz2 [ x - x^2 + x^33 ]0^1 = 1raiz2 (1 - 1 + 13) = 13raiz2

Resposta

A integral dupla integral duplaS F cdot dS é igual a boxeddfrac13,raiz2.

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