Sejam
, e
é a parte do plano
do primeiro octante,
, com orientação para cima. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de cálculo vetorial envolvendo integrais de superfície. A gente vai calcular a integral dupla de um campo vetorial
sobre uma superfície
que é parte de um plano no primeiro octante (onde
) e com orientação para cima. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campos vetoriais, integrais de superfície e um pouco de geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a superfície
. Ela é a parte do plano
no primeiro octante. Como
está isolado na equação, podemos reescrever
em função de
e
:
Isso nos ajuda a parametrizar a superfície em termos de
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície
. A orientação é para cima, então queremos que a componente
do vetor normal seja positiva. A equação do plano
nos dá os coeficientes para o vetor normal:
Esse vetor indica a direção perpendicular à superfície.
Passo 4
A seguir, vamos calcular o elemento de área diferencial
. Como já temos o vetor normal, podemos expressar
como:
Isso simplifica o cálculo da integral, pois agora temos uma expressão clara para
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o campo vetorial
e
:
Fazendo o produto escalar:
Simplificando:
Interessante, os termos com
se cancelam!
Passo 6
Lembrando que
, substituímos na expressão:
Então, a integral fica muito mais simples:
Onde
é a região no plano
limitada por
,
e
.
Passo 7
Vamos definir os limites de integração. Para
variando de 0 a 1,
varia de 0 a
. Assim, a integral fica:
Passo 8
Calculando a integral interna em relação a
:
Agora, a integral dupla reduz para:
Passo 9
Resolvendo a integral em relação a
:
Expande-se
, então:
Resposta
A integral dupla
é igual a
.