Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=x^2 y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função fcolon R^2toR,
f(x,y)=x^2y^2,
e pede para encontrar os pontos críticos e classificá-los em máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar cálculo multivariável: primeiro calculamos o gradiente para achar os pontos críticos e depois analisamos a Hessiana e o sinal de f para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
partial fpartial x=2x,y^2, partial fpartial y=2y,x^2
Para pontos críticos, igualamos a zero:
2x,y^2=0, 2y,x^2=0 ;Longrightarrow; x,y^2=0 e x^2,y=0
Essas duas igualdades ocorrem sempre que x=0 ou y=0. Logo, o conjunto de pontos críticos é a união dos eixos coordenados:
(x,0)mid xinRcup(0,y)mid yinR

Passo 3

Vamos analisar a Hessiana de f:
Hf(x,y)= partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial x partial y partial^2 fpartial y partial x & partial^2 fpartial y^2 = 2y^2 & 4xy 4xy & 2x^2
Em um ponto crítico com x=0, fica
Hf(0,y)=2y^2 & 0 0 & 0,
cujo único autovalor não-nulo é 2y^2 >= 0. De modo similar, em pontos com y=0 a Hessiana é semidefinida positiva ou nula. Como não surgem autovalores negativos, não há direção em que f decresça abaixo de zero. Além disso, observamos que
f(x,y)=x^2 y^2 >= 0 forall (x,y),
e que em todo ponto crítico f=0. Isso mostra que cada ponto crítico é um ponto de mínimo local (não estrito, pois ao longo do eixo onde f equiv 0 a variação é nula).

Passo 4

Não existem máximos locais porque f(x,y) cresce sem limite quando lvert xrvert ou lvert yrvert aumentam. Também não há pontos de sela, pois nunca há direções em que f tome valores negativos.

Resposta

Os mínimos locais (na verdade globais não-estritos) são todos os pontos dos eixos coordenados:
l(x,0)mid xinRr e l(0,y)mid yinRr
Não há máximos locais nem pontos de sela.

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