Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
O enunciado nos dá a função ,
e pede para encontrar os pontos críticos e classificá-los em máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar cálculo multivariável: primeiro calculamos o gradiente para achar os pontos críticos e depois analisamos a Hessiana e o sinal de para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos o gradiente de :
Para pontos críticos, igualamos a zero:
Essas duas igualdades ocorrem sempre que ou . Logo, o conjunto de pontos críticos é a união dos eixos coordenados:
Passo 3
Vamos analisar a Hessiana de :
Em um ponto crítico com x=0, fica
Hf(0,y)=2y^2 & 0 0 & 0,
cujo único autovalor não-nulo é 2y^2 >= 0. De modo similar, em pontos com y=0 a Hessiana é semidefinida positiva ou nula. Como não surgem autovalores negativos, não há direção em que f decresça abaixo de zero. Além disso, observamos que
f(x,y)=x^2 y^2 >= 0 forall (x,y),
e que em todo ponto crítico f=0. Isso mostra que cada ponto crítico é um ponto de mínimo local (não estrito, pois ao longo do eixo onde f equiv 0 a variação é nula).
Passo 4
Não existem máximos locais porque f(x,y) cresce sem limite quando lvert xrvert ou lvert yrvert aumentam. Também não há pontos de sela, pois nunca há direções em que f tome valores negativos.
Resposta
Os mínimos locais (na verdade globais não-estritos) são todos os pontos dos eixos coordenados: