Seja F(x, y, z)=P(x, y, z) imath+Q(x, y, z) jmath+R(x, y, z) um campo vetorial contínuo definido sobre uma superfície S, orientada positivamente (com orientação para cima) e dada por z=f(x, y), onde f é uma função contínua definida sob D subset R^2. Mostre que integral duplaS F cdot d S, a integral de F sobre S, é
integral duplaD-P fx-Q fy+R d A

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície (fluxo)
integral duplaSFcdot dS
do campo vetorial contínuo
F(x,y,z)=P(x,y,z),i+Q(x,y,z),j+R(x,y,z),k
sobre a superfície S dada por z=f(x,y), orientada para cima, com (x,y) variando em DsubsetR^2. O que precisamos é parametrizar S, obter o vetor normal orientado para cima e depois fazer o produto escalar com F.

Passo 2

Parametrizamos S por
r(x,y)=l(x,;y,;f(x,y)r), (x,y)in D

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais da parametrização:
rx=(1,,0,,fx), ry=(0,,1,,fy)
O vetor normal não unitário orientado para cima é dado pelo produto vetorial
rxtimesry = i&j&k 1&0&fx 0&1&fy =(-fx,,-fy,,1)

Passo 4

Avalia-mos o campo na parametriza\c{c}~ao:
F(r(x,y)) =l(P(x,y,f(x,y)),,Q(x,y,f(x,y)),,R(x,y,f(x,y))r)
O produto escalar com o vetor normal `e
F(r(x,y))cdot(rxtimesry) =-P,fx;-Q,fy;+R

Passo 5

Finalmente, a integral de superfície fica
integral duplaSFcdot dS =integral duplaDl(-P,fx - Q,fy + Rr),dA

Resposta

integral duplaSFcdot dS =integral duplaDl(-P,fx - Q,fy + Rr),dA

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