Seja
um campo vetorial contínuo definido sobre uma superfície
, orientada positivamente (com orientação para cima) e dada por
, onde
é uma função contínua definida sob
. Mostre que
, a integral de
sobre S, é
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície (fluxo)
do campo vetorial contínuo
sobre a superfície
dada por
, orientada para cima, com
variando em
. O que precisamos é parametrizar
, obter o vetor normal orientado para cima e depois fazer o produto escalar com
.
Passo 2
Parametrizamos
por
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais da parametrização:
O vetor normal não unitário orientado para cima é dado pelo produto vetorial
Passo 4
Avalia-mos o campo na parametriza\c{c}~ao:
O produto escalar com o vetor normal `e
Passo 5
Finalmente, a integral de superfície fica