Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. O conteúdo envolvido é: derivadas parciais para achar pontos críticos e, em seguida, teste de classificação (Hessiano ou mudança de sinal de
).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, igualamos
Cada equação anula-se se
ou
. Assim os pontos críticos são todos aqueles com
isto é, a união dos eixos coordenados no plano.
Passo 4
Para classificar, note que
Em qualquer ponto crítico (que vale
), basta olhar vizinhanças em que
(dá
) e vizinhanças em que
(dá
). Logo
muda de sinal em volta de qualquer ponto crítico, caracterizando ponto de sela. O teste do Hessiano também indica que não há máxima nem mínima local (o determinante do Hessiano fica
ou nulo).
Resposta
Não existem máximos locais nem mínimos locais. Todos os pontos críticos
com
ou
são pontos de sela.