Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=x^3 y^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=x^3y^3
e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. O conteúdo envolvido é: derivadas parciais para achar pontos críticos e, em seguida, teste de classificação (Hessiano ou mudança de sinal de f).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x =3x^2y^3, partial fpartial y =3x^3y^2

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos
3x^2y^3=0 e 3x^3y^2=0
Cada equação anula-se se x=0 ou y=0. Assim os pontos críticos são todos aqueles com
x=0 ou y=0,
isto é, a união dos eixos coordenados no plano.

Passo 4

Para classificar, note que
f(x,y)=(xy)^3
Em qualquer ponto crítico (que vale 0), basta olhar vizinhanças em que xy>0 (dá f>0) e vizinhanças em que xy<0 (dá f<0). Logo f muda de sinal em volta de qualquer ponto crítico, caracterizando ponto de sela. O teste do Hessiano também indica que não há máxima nem mínima local (o determinante do Hessiano fica <=0 ou nulo).

Resposta

Não existem máximos locais nem mínimos locais. Todos os pontos críticos (x,y) com x=0 ou y=0 são pontos de sela.

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