Calcule o fluxo do campo vetorial
sobre a superficie
no caso em que:
e
é a superfície interior do elipsóide
;
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo sobre a superfície fechada que é a casca interior do elipsóide
As informações dadas são:
- O campo vetorial é
. - A superfície
é a superfície fechada do elipsóide centrado na origem (ou seja, a superfície que isola o interior do elipsóide).
A pergunta clara é: calcular o fluxo total
usando a orientação natural (normal apontando para fora do volume interior).
Passo 2
Expressar o campo em coordenadas cartesianas para manipular derivadas e integrais. Denotando
e
, tem-se a unidade radial
. Assim
É útil conhecer a divergência de
em pontos onde
. Vamos calcular
explicitamente.
Passo 3
Cálculo da divergência ponto a ponto (para
). Escrevendo
,
,
:
Como
, segue
Analogamente,
Somando as três componentes:
para todo
. Conclusão:
em todo ponto do espaço exceto na origem, onde o campo é singular.
Passo 4
Aplicação do Teorema da Divergência (Gauss) com cuidado: o teorema diz que, para um campo com divergência bem comportada em uma região
com fronteira
,
Aqui há um problema porque
é singular na origem (que está dentro do elipsóide), então não se pode aplicar diretamente ao volume inteiro. O truque padrão é excisar (retirar) uma pequena bola aberta
de raio
centrada na origem, e aplicar o teorema ao domínio
A fronteira de
é a união da superfície do elipsóide
(orientada para fora) e da superfície da pequena esfera
(orientada para dentro do volume
, ou seja, sua normal aponta para o centro da esfera). Aplicando o teorema da divergência a
e usando
em
, obtemos
Daí segue a relação
Observe o sinal: a normal de
no contorno de
está apontando para dentro da esfera (isto é, para o centro), então para obter o fluxo com a normal exterior da esfera (a normal apontando para fora do volume interior da esfera) temos que trocar o sinal. Em resumo: o fluxo através do elipsóide é igual ao fluxo através da pequena esfera centrada na origem, com a orientação exterior usual.
Passo 5
Calcular o fluxo através da esfera de raio
. Para a esfera de raio
centrada na origem, em coordenadas esféricas a normal unitária aponta radialmente para fora e vale
. No ponto dessa esfera
, o campo tem módulo
e direção radial, logo
. A área de um elemento de superfície é
. Portanto o fluxo pela esfera é
Calculando as integrais elementares:
logo
Note que o resultado não depende de
; isso reflete a simetria radial do campo.
Passo 6
Voltando à relação do Passo 4, concluímos que o fluxo através do elipsóide (com a normal exterior) é igual ao fluxo através da esfera (com normal exterior). Do Passo 5 temos que esse fluxo vale
. Portanto o fluxo pedido é
.