Calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F} sobre a superficie S no caso em que:
\vec{F}(\vec{r})=\frac{\hat{r}}{r^{2}} e S é a superfície interior do elipsóide \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1;

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo sobre a superfície fechada que é a casca interior do elipsóide
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.
As informações dadas são:
  • O campo vetorial é \vec{F}(\vec{r})=\dfrac{\hat{r}}{r^{2}}.
  • A superfície S é a superfície fechada do elipsóide centrado na origem (ou seja, a superfície que isola o interior do elipsóide).
    A pergunta clara é: calcular o fluxo total
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S},
usando a orientação natural (normal apontando para fora do volume interior).

Passo 2

Expressar o campo em coordenadas cartesianas para manipular derivadas e integrais. Denotando \vec{r}=(x,y,z) e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, tem-se a unidade radial \hat{r}=\dfrac{\vec{r}}{r}. Assim
\vec{F}(\vec{r})=\frac{\hat{r}}{r^{2}}=\frac{\vec{r}}{r^{3}}=\left(\frac{x}{r^{3}},\frac{y}{r^{3}},\frac{z}{r^{3}}\right).
É útil conhecer a divergência de \vec{F} em pontos onde r\neq0. Vamos calcular \nabla\cdot\vec{F} explicitamente.

Passo 3

Cálculo da divergência ponto a ponto (para r\neq0). Escrevendo F_x=\dfrac{x}{r^{3}}, F_y=\dfrac{y}{r^{3}}, F_z=\dfrac{z}{r^{3}}:
\frac{\partial F_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(x r^{-3}\right) = r^{-3} + x\frac{\partial}{\partial x}\left(r^{-3}\right).
Como \dfrac{\partial}{\partial x}(r^{-3}) = -3 r^{-5}\,x, segue
\frac{\partial F_x}{\partial x} = r^{-3} - 3x^{2} r^{-5}.
Analogamente,
\frac{\partial F_y}{\partial y} = r^{-3} - 3y^{2} r^{-5},\qquad \frac{\partial F_z}{\partial z} = r^{-3} - 3z^{2} r^{-5}.
Somando as três componentes:
\nabla\cdot\vec{F} = 3r^{-3} - 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})r^{-5} = 3r^{-3} - 3r^{2}r^{-5} =0,
para todo r\neq0. Conclusão: \nabla\cdot\vec{F}=0 em todo ponto do espaço exceto na origem, onde o campo é singular.

Passo 4

Aplicação do Teorema da Divergência (Gauss) com cuidado: o teorema diz que, para um campo com divergência bem comportada em uma região V com fronteira \partial V,
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
Aqui há um problema porque \vec{F} é singular na origem (que está dentro do elipsóide), então não se pode aplicar diretamente ao volume inteiro. O truque padrão é excisar (retirar) uma pequena bola aberta B_{\varepsilon} de raio \varepsilon centrada na origem, e aplicar o teorema ao domínio
V_{\varepsilon} = \{\text{interior do elipsóide}\}\setminus B_{\varepsilon}.ó
A fronteira de V_{\varepsilon} é a união da superfície do elipsóide S (orientada para fora) e da superfície da pequena esfera S_{\varepsilon} (orientada para dentro do volume V_{\varepsilon}, ou seja, sua normal aponta para o centro da esfera). Aplicando o teorema da divergência a V_{\varepsilon} e usando \nabla\cdot\vec{F}=0 em V_{\varepsilon}, obtemos
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} + \iint_{S_{\varepsilon}}\vec{F}\cdot d\vec{S} = \iiint_{V_{\varepsilon}} 0\,dV = 0.
Daí segue a relação
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} = -\iint_{S_{\varepsilon}}\vec{F}\cdot d\vec{S}.
Observe o sinal: a normal de S_{\varepsilon} no contorno de V_{\varepsilon} está apontando para dentro da esfera (isto é, para o centro), então para obter o fluxo com a normal exterior da esfera (a normal apontando para fora do volume interior da esfera) temos que trocar o sinal. Em resumo: o fluxo através do elipsóide é igual ao fluxo através da pequena esfera centrada na origem, com a orientação exterior usual.

Passo 5

Calcular o fluxo através da esfera de raio \varepsilon. Para a esfera de raio \varepsilon centrada na origem, em coordenadas esféricas a normal unitária aponta radialmente para fora e vale \hat{n}=\hat{r}. No ponto dessa esfera r=\varepsilon, o campo tem módulo 1/\varepsilon^{2} e direção radial, logo \vec{F}\cdot\hat{n} = 1/\varepsilon^{2}. A área de um elemento de superfície é dS=\varepsilon^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi. Portanto o fluxo pela esfera é
\iint_{S_{\varepsilon}}\vec{F}\cdot d\vec{S} = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{1}{\varepsilon^{2}}\;\varepsilon^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi = \int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta.
Calculando as integrais elementares:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi,\qquad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = 2,
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\iint_{S_{\varepsilon}}\vec{F}\cdot d\vec{S} = 2\pi\cdot 2 = 4\pi.
Note que o resultado não depende de \varepsilon; isso reflete a simetria radial do campo.

Passo 6

Voltando à relação do Passo 4, concluímos que o fluxo através do elipsóide (com a normal exterior) é igual ao fluxo através da esfera (com normal exterior). Do Passo 5 temos que esse fluxo vale 4\pi. Portanto o fluxo pedido é 4\pi.

Resposta

4\pi

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