Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais de linha:
\oint_{G}\left\{\left(x^{2}+2 y^{3}\right) d x+x y^{2} d y+\sqrt[3]{z^{2}+1} d z\right\}, sendo G a circunferência x=a \cos \theta, y=a \operatorname{sen} \theta, z=2; ande a>0 & \theta \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
\oint_{G}\left\{\left(x^{2}+2 y^{3}\right)\,dx + x y^{2}\,dy + \sqrt[3]{z^{2}+1}\,dz\right\}
onde a curva G é a circunferência parametrizada por
x=a\cos\theta,\qquad y=a\operatorname{sen}\theta,\qquad z=2,
com a>0 e \theta\in[0,2\pi].
Informações dadas e o que se pede:
  • A forma diferencial tem componentes P(x,y,z)=x^{2}+2y^{3}, Q(x,y,z)=x y^{2} e R(x,y,z)=\sqrt[3]{z^{2}+1}=(z^{2}+1)^{1/3}.
  • A curva G é o círculo de raio a no plano z=2, percorrido para \theta aumentando de 0 a 2\pi (ou seja, sentido anti-horário visto do eixo +z).
  • Deve-se calcular a integral de linha fechada \oint_G P\,dx+Q\,dy+R\,dz. Usaremos o Teorema de Stokes para transformar essa integral de linha numa integral de superfície sobre o disco limitado por G.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Stokes (na forma vetorial): se \mathbf{F}=(P,Q,R) é um campo vetorial suficientemente suave e S é uma superfície orientada com fronteira \partial S=G orientada compativelmente, então
\oint_{G}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS.
Explicando as peças:
  • \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=P\,dx+Q\,dy+R\,dz.
  • \nabla\times\mathbf{F} é o rotor (curl) de \mathbf{F}.
  • \mathbf{n} é o versor normal à superfície S escolhido de acordo com a orientação de G (regra da mão direita).
  • dS é o elemento de área da superfície.
Portanto, a estratégia é:
  1. Calcular \nabla\times\mathbf{F}.
  2. Escolher uma superfície S com \partial S=G (o disco no plano z=2 é a escolha natural).
  3. Calcular \iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS.

Passo 3

Calcular o rotor \nabla\times\mathbf{F}. Pela definição:
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Agora as derivadas parciais (explicando cada termo):
  • P(x,y,z)=x^{2}+2y^{3} não depende de z, então \dfrac{\partial P}{\partial z}=0.
  • Q(x,y,z)=x y^{2} não depende de z, então \dfrac{\partial Q}{\partial z}=0.
  • R(x,y,z)=(z^{2}+1)^{1/3} não depende de x nem de y, então \dfrac{\partial R}{\partial x}=0 e \dfrac{\partial R}{\partial y}=0.
  • \dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x y^{2})=y^{2}.
  • \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+2y^{3})=6y^{2}.
Substituindo na fórmula do rotor:
\nabla\times\mathbf{F}=(0-0,\;0-0,\;y^{2}-6y^{2})=(0,0,-5y^{2}).

Passo 4

Escolha da superfície S e orientação:
  • Tomamos S igual ao disco plano D definido por z=2 e x^{2}+y^{2}\le a^{2}.
  • A curva G está orientada no sentido anti-horário quando vista do eixo +z (pois \theta aumenta de 0 a 2\pi), então a normal compatível pela regra da mão direita é o versor apontando para +z: \mathbf{n}=(0,0,1).
  • Portanto (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}=(0,0,-5y^{2})\cdot(0,0,1)=-5y^{2}.
Pelo Teorema de Stokes:
\oint_{G}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{D}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{D} -5y^{2}\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano z=2.

Passo 5

Converter a integral sobre o disco para coordenadas polares (no plano z=2 as coordenadas polares são naturais):
  • Em coordenadas polares: x=r\cos\theta,\; y=r\operatorname{sen}\theta.
  • O elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta.
  • Os limites são r\in[0,a] e \theta\in[0,2\pi].
  • Substituindo y=r\operatorname{sen}\theta na função integranda:
-5y^{2} = -5(r\operatorname{sen}\theta)^{2} = -5 r^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta.
Logo a integral fica
\iint_{D} -5y^{2}\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} \big(-5 r^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta\big)\, r\,dr\,d\theta = -5\int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}^{2}\theta\,d\theta \int_{0}^{a} r^{3}\,dr.

Passo 6

Calcular as integrais separadas (faça passo a passo para poder reproduzir na prova):
  1. Integral radial:
\int_{0}^{a} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{a}=\frac{a^{4}}{4}.
  1. Integral angular:
    Usando a identidade \operatorname{sen}^{2}\theta=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2},
\int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\left[\theta\right]_{0}^{2\pi} - \frac{1}{2}\left[\frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2}\cdot 2\pi - 0 = \pi.
  1. Multiplicando:
-5\left(\int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}^{2}\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{a} r^{3}\,dr\right) = -5\cdot \pi \cdot \frac{a^{4}}{4} = -\frac{5\pi a^{4}}{4}.

Passo 7

Conclusão: a integral de linha pedida vale -\dfrac{5\pi a^{4}}{4}. Esse resultado foi obtido aplicando o Teorema de Stokes, calculando o rotor, escolhendo o disco como superfície e efetuando a integral dupla em coordenadas polares.

Resposta

-\dfrac{5\pi a^{4}}{4}

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