Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais de linha: \oint_{G}\left\{\left(x^{2}+2 y^{3}\right) d x+x y^{2} d y+\sqrt[3]{z^{2}+1} d z\right\}, sendo G a circunferênciax=a \cos \theta, y=a \operatorname{sen} \theta, z=2; ande a>0 & \theta \in[0,2 \pi].
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
\oint_{G}\left\{\left(x^{2}+2 y^{3}\right)\,dx + x y^{2}\,dy + \sqrt[3]{z^{2}+1}\,dz\right\}
onde a curva G é a circunferência parametrizada por
A forma diferencial tem componentes P(x,y,z)=x^{2}+2y^{3}, Q(x,y,z)=x y^{2} e R(x,y,z)=\sqrt[3]{z^{2}+1}=(z^{2}+1)^{1/3}.
A curva G é o círculo de raio a no plano z=2, percorrido para \theta aumentando de 0 a 2\pi (ou seja, sentido anti-horário visto do eixo +z).
Deve-se calcular a integral de linha fechada \oint_G P\,dx+Q\,dy+R\,dz. Usaremos o Teorema de Stokes para transformar essa integral de linha numa integral de superfície sobre o disco limitado por G.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Stokes (na forma vetorial): se \mathbf{F}=(P,Q,R) é um campo vetorial suficientemente suave e S é uma superfície orientada com fronteira \partial S=G orientada compativelmente, então
Tomamos S igual ao disco plano D definido por z=2 e x^{2}+y^{2}\le a^{2}.
A curva G está orientada no sentido anti-horário quando vista do eixo +z (pois \theta aumenta de 0 a 2\pi), então a normal compatível pela regra da mão direita é o versor apontando para +z: \mathbf{n}=(0,0,1).
Conclusão: a integral de linha pedida vale -\dfrac{5\pi a^{4}}{4}. Esse resultado foi obtido aplicando o Teorema de Stokes, calculando o rotor, escolhendo o disco como superfície e efetuando a integral dupla em coordenadas polares.