Calcule o fluxo do campo vetorial
sobre a superficie
no caso em que:
e
é a superficie exterior do elipsóide em a);
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
pela superfície
, onde:
-
. -
é a superfície exterior (fechada) de um elipsóide (o enunciado refere-se ao elipsóide “em a)”).
Informações relevantes fornecidas:
- Aqui
. - O campo tem termos com potências negativas de
, logo está indefinido em (há uma singularidade no origem). - Queremos o fluxo total através da superfície fechada
(fluxo com a normal apontando para fora).
Passo 2
Estratégia conceitual (explicação didática das ideias que vou usar).
- Existe um teorema muito útil: o Teorema da Divergência (ou de Gauss), que diz que, para um campo vetorial suficientemente suave numa região
com fronteira ,
Aqui
é a normal externa. Isso transforma um problema de superfície num integral tridimensional da divergência.
- Porém esse teorema só é aplicável quando
é bem comportado (por exemplo ) em todo o volume . Se houver singularidade dentro do volume (aqui, possivelmente em ), não se pode aplicar diretamente sem tratar a singularidade. - Portanto preciso:
- Calcular
em pontos com . - Verificar se a singularidade em
gera fluxo líquido não nulo; se houver fluxo associado à singularidade, calculo esse fluxo (por exemplo avaliando o fluxo numa pequena esfera centrada na origem).
- Calcular
Passo 3
Primeira peça técnica: escrever o campo em coordenadas cartesianas para facilitar o cálculo da divergência.
- A unidade radial
é . - Logo o primeiro termo pode ser escrito como
Mais precisamente, escrevendo componente a componente:
Isto é,
Passo 4
Cálculo da divergência em
(passo a passo e didático).
- A divergência é
. - Para evitar muitas derivadas separadas podemos usar uma identidade prática: se
(isto é, onde ), então
No nosso campo o primeiro termo é
com
. O segundo termo do campo é
.
- Calcule
. Primeiro note . As derivadas parciais são
- Então
- Logo, pela identidade,
- Agora a divergência do segundo termo
é
- Somando as duas contribuições:
para todo ponto com
.
Conclusão desta etapa:
em todo o espaço exceto possivelmente na origem
.
Passo 5
Implicações para o fluxo sobre
.
- Se o interior do elipsóide não contiver a origem, então
é suave no volume interior e pelo Teorema da Divergência
Portanto o fluxo é
nesse caso.
- Se o interior do elipsóide CONTIVER a origem, não podemos aplicar diretamente o teorema porque existe singularidade em
. Nessa situação o truque padrão é deformar a região: o fluxo através de é igual ao fluxo através de uma superfície que envolva somente a singularidade (por exemplo uma pequena esfera centrada na origem) mais o fluxo através da região entre elas; como a divergência é zero fora da origem, o fluxo através de será igual ao fluxo através de qualquer esfera centrada na origem (o fluxo não depende da esfera escolhida).
Portanto vamos calcular o fluxo através de uma esfera de raio
centrada na origem e verificar o valor (se for zero, então a singularidade não contribui fluxo líquido).
Passo 6
Cálculo explícito do fluxo na esfera de raio
(detalhado, sem pular etapas).
- Na esfera
a normal externa é e (coordenadas esféricas). - Em geral
. - Note que
. Assim
- Para a esfera
temos e , então
- O fluxo sobre a esfera é
- Calcule a integral em
:
(ou simplesmente usar substituição
: integral resulta em
avaliada entre
e
, que é zero.)
- Portanto
.
Passo 7
Interpretação final e conclusão didática.
- A divergência de
é zero para todo . Verificou-se também que o possível contributo da singularidade na origem, avaliado por meio do fluxo através de uma esfera centrada na origem, é nulo. - Consequentemente o fluxo do campo
através de qualquer superfície fechada (quer ela envolva a origem ou não) é igual a zero. Em particular, para sendo a superfície exterior do elipsóide pedido, o fluxo é .
Um comentário intuitivo: embora o campo tenha termos singulares, as partes do campo que pareciam gerar fluxo positivo e negativo se cancelam exatamente — por isso não há fluxo líquido saindo da região.