Calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F} sobre a superficie S no caso em que:
\vec{F}(\vec{r})=5 \frac{z}{r^{6}} \hat{r}-3 \frac{1}{r^{5}} \hat{k} e S é a superficie exterior do elipsóide em a);

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \vec{F} pela superfície S, onde:
  • \vec{F}(\vec{r}) = 5\,\dfrac{z}{r^{6}}\,\hat{r} - 3\,\dfrac{1}{r^{5}}\,\hat{k}.
  • S é a superfície exterior (fechada) de um elipsóide (o enunciado refere-se ao elipsóide “em a)”).
Informações relevantes fornecidas:
  • Aqui r=\lVert\vec{r}\rVert=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • O campo tem termos com potências negativas de r, logo está indefinido em r=0 (há uma singularidade no origem).
  • Queremos o fluxo total através da superfície fechada S (fluxo com a normal apontando para fora).

Passo 2

Estratégia conceitual (explicação didática das ideias que vou usar).
  • Existe um teorema muito útil: o Teorema da Divergência (ou de Gauss), que diz que, para um campo vetorial suficientemente suave numa região V com fronteira S=\partial V,
\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Aqui \hat{n} é a normal externa. Isso transforma um problema de superfície num integral tridimensional da divergência.
  • Porém esse teorema só é aplicável quando \vec{F} é bem comportado (por exemplo C^1) em todo o volume V. Se houver singularidade dentro do volume (aqui, possivelmente em r=0), não se pode aplicar diretamente sem tratar a singularidade.
  • Portanto preciso:
    1. Calcular \operatorname{div}\vec{F} em pontos com r>0.
    2. Verificar se a singularidade em r=0 gera fluxo líquido não nulo; se houver fluxo associado à singularidade, calculo esse fluxo (por exemplo avaliando o fluxo numa pequena esfera centrada na origem).

Passo 3

Primeira peça técnica: escrever o campo em coordenadas cartesianas para facilitar o cálculo da divergência.
  • A unidade radial \hat{r} é \hat{r}=\dfrac{1}{r}(x,y,z).
  • Logo o primeiro termo pode ser escrito como
5\,\dfrac{z}{r^{6}}\,\hat{r}=5\,\dfrac{z}{r^{6}}\cdot\dfrac{1}{r}(x,y,z)=5\,(x,z?)\\ \text{(componentes abaixo)}.
Mais precisamente, escrevendo componente a componente:
\vec{F}=(5x z\,r^{-7},\;5y z\,r^{-7},\;5z^{2}r^{-7}-3r^{-5}).
Isto é,
F_{x}=5x z\,r^{-7},\qquad F_{y}=5y z\,r^{-7},\qquad F_{z}=5z^{2}r^{-7}-3r^{-5}.

Passo 4

Cálculo da divergência em r>0 (passo a passo e didático).
  • A divergência é \operatorname{div}\vec{F}=\dfrac{\partial F_{x}}{\partial x}+\dfrac{\partial F_{y}}{\partial y}+\dfrac{\partial F_{z}}{\partial z}.
  • Para evitar muitas derivadas separadas podemos usar uma identidade prática: se \vec{G}=\alpha(\vec{r})\,\vec{r} (isto é, \vec{G}=\alpha r_{\!} onde \vec{r}=(x,y,z)), então
\operatorname{div}\vec{G}=3\alpha+\vec{r}\cdot\nabla\alpha.
No nosso campo o primeiro termo é \vec{G}=5z\,r^{-7}\,\vec{r} com \alpha=5z\,r^{-7}. O segundo termo do campo é \vec{H}=(0,0,-3r^{-5}).
  • Calcule \nabla\alpha. Primeiro note \alpha=5z r^{-7}. As derivadas parciais são
\partial_{x}\alpha=-35 x z\,r^{-9},\qquad \partial_{y}\alpha=-35 y z\,r^{-9},
\partial_{z}\alpha=5r^{-7}-35 z^{2}r^{-9}.
  • Então
\vec{r}\cdot\nabla\alpha = x\partial_{x}\alpha+y\partial_{y}\alpha+z\partial_{z}\alpha = -35 z r^{-9}(x^{2}+y^{2}+z^{2})+5z r^{-7} = -35 z r^{-7}+5z r^{-7}=-30 z r^{-7}.
  • Logo, pela identidade,
\operatorname{div}(5z r^{-7}\vec{r})=3\alpha+\vec{r}\cdot\nabla\alpha=3\cdot(5z r^{-7})-30 z r^{-7}= -15 z r^{-7}.
  • Agora a divergência do segundo termo \vec{H}=(0,0,-3r^{-5}) é
\operatorname{div}\vec{H}=\dfrac{\partial}{\partial z}(-3r^{-5})=-3\cdot(-5z r^{-7})=15 z r^{-7}.
  • Somando as duas contribuições:
\operatorname{div}\vec{F}=\operatorname{div}(5z r^{-7}\vec{r})+\operatorname{div}\vec{H}=-15 z r^{-7}+15 z r^{-7}=0
para todo ponto com r>0.
Conclusão desta etapa: \operatorname{div}\vec{F}=0 em todo o espaço exceto possivelmente na origem r=0.

Passo 5

Implicações para o fluxo sobre S.
  • Se o interior do elipsóide não contiver a origem, então \vec{F} é suave no volume interior e pelo Teorema da Divergência
\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV= \iiint_{V}0\,dV=0.
Portanto o fluxo é 0 nesse caso.
  • Se o interior do elipsóide CONTIVER a origem, não podemos aplicar diretamente o teorema porque existe singularidade em r=0. Nessa situação o truque padrão é deformar a região: o fluxo através de S é igual ao fluxo através de uma superfície que envolva somente a singularidade (por exemplo uma pequena esfera centrada na origem) mais o fluxo através da região entre elas; como a divergência é zero fora da origem, o fluxo através de S será igual ao fluxo através de qualquer esfera centrada na origem (o fluxo não depende da esfera escolhida).
Portanto vamos calcular o fluxo através de uma esfera de raio R>0 centrada na origem e verificar o valor (se for zero, então a singularidade não contribui fluxo líquido).

Passo 6

Cálculo explícito do fluxo na esfera de raio R (detalhado, sem pular etapas).
  • Na esfera r=R a normal externa é \hat{n}=\hat{r} e dS=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi (coordenadas esféricas).
  • Em geral \vec{F}\cdot\hat{n} = \vec{F}\cdot\hat{r} = 5\,\dfrac{z}{r^{6}} -3\,\dfrac{1}{r^{5}}(\hat{k}\cdot\hat{r}).
  • Note que \hat{k}\cdot\hat{r}=\dfrac{z}{r}. Assim
\vec{F}\cdot\hat{n}=5\,\dfrac{z}{r^{6}} -3\,\dfrac{1}{r^{5}}\cdot\dfrac{z}{r} = \left(5-3\right)\dfrac{z}{r^{6}}=2\,\dfrac{z}{r^{6}}.
  • Para a esfera r=R temos z=R\cos\theta e r^{6}=R^{6}, então
\vec{F}\cdot\hat{n}=2\,\dfrac{R\cos\theta}{R^{6}}=2\cos\theta\,R^{-5}.
  • O fluxo sobre a esfera é
\Phi=\iint_{S_{R}}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} 2\cos\theta\,R^{-5}\cdot R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =2R^{-3}\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta.
  • Calcule a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin(2\theta)\,d\theta =\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_{0}^{\pi} =\frac{1}{4}\left(\cos(0)-\cos(2\pi)\right)=0.
(ou simplesmente usar substituição u=\sin\theta: integral resulta em \tfrac{1}{2}\sin^{2}\theta avaliada entre 0 e \pi, que é zero.)
  • Portanto \Phi=2R^{-3}\cdot(2\pi)\cdot 0=0.

Passo 7

Interpretação final e conclusão didática.
  • A divergência de \vec{F} é zero para todo r>0. Verificou-se também que o possível contributo da singularidade na origem, avaliado por meio do fluxo através de uma esfera centrada na origem, é nulo.
  • Consequentemente o fluxo do campo \vec{F} através de qualquer superfície fechada S (quer ela envolva a origem ou não) é igual a zero. Em particular, para S sendo a superfície exterior do elipsóide pedido, o fluxo é 0.
Um comentário intuitivo: embora o campo tenha termos singulares, as partes do campo que pareciam gerar fluxo positivo e negativo se cancelam exatamente — por isso não há fluxo líquido saindo da região.

Resposta

\;0\;

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