Calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=(y, x, z) sobre a superfície S parametrizada por \sigma(u, v)=(\cos (v), \sin (v), u), \quad 0 \leq u \leq 2, \frac{\pi}{2} \leq v \leq \pi.
Escolha uma opção:
a. \frac{2 \pi}{3}
b. \frac{4 \pi}{3}
c. Nenhuma das Respostas
d. \frac{\sqrt{2}-1}{4}
e. 2

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \vec F(x,y,z)=(y,x,z) sobre a superfície cilíndrica S dada pela parametrização
\sigma(u,v) = (\cos v,\;\sin v,\;u), \quad 0\le u\le 2,\;\frac\pi2\le v\le \pi.
O método é usar a integral de superfície via parametrização:
\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S = \iint_{D}\vec F\bigl(\sigma(u,v)\bigr)\cdot\bigl(\sigma_u\times\sigma_v\bigr)\,du\,dv.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de \sigma:
\sigma_u = (0,\,0,\,1), \qquad \sigma_v = (-\sin v,\,\cos v,\,0).
O produto vetorial é
\sigma_u\times\sigma_v = \begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\\ 0&0&1\\\\ -\sin v&\cos v&0 \end{vmatrix} =(-\cos v,\,-\sin v,\,0).

Passo 3

Avaliar \vec F na parametrização:
\vec F\bigl(\sigma(u,v)\bigr) = (\sin v,\;\cos v,\;u).
O produto escalar fica
\vec F(\sigma)\cdot(\sigma_u\times\sigma_v) = (\sin v,\cos v,u)\cdot(-\cos v,-\sin v,0) = -\,\sin v\cos v \;-\;\cos v\sin v = -2\,\sin v\cos v = -\sin(2v).

Passo 4

Agora integramos sobre o retângulo D=[0,2]\times[\tfrac\pi2,\pi]:
\iint_{D}-\sin(2v)\,du\,dv = \int_{u=0}^{2}\!\!\int_{v=\frac\pi2}^{\pi} -\sin(2v)\,dv\,du.
A integral em u dá fator 2, e em v temos
-2\int_{\frac\pi2}^{\pi}\sin(2v)\,dv = -2\Bigl[-\tfrac12\cos(2v)\Bigr]_{v=\frac\pi2}^{\pi} = \bigl[\cos(2v)\bigr]_{\frac\pi2}^{\pi} = \cos(2\pi)-\cos(\pi) = 1-(-1) = 2.

Resposta

2

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