Se C é uma curva fechada, simples, de classe C^{1} por partes e orientada no sentido anti-horário, então \int_{C}\left(e^{x^{2}}-1\right) d x+\sin \left(y^{3}\right) d y=0 ?
Escolha uma opção:
a. Falso
b. Verdadeiro

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{C}\bigl(e^{x^{2}}-1\bigr)\,dx+\sin\bigl(y^{3}\bigr)\,dy
onde C é uma curva fechada, simples, de classe C^{1} por partes, orientada anti-horário. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green (ou o teste de campo conservativo), que diz que, se uma forma diferencial \omega = P\,dx + Q\,dy satisfaz \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}=0 numa região simplesmente conectada, então \oint_{C}\omega=0.

Passo 2

Identificamos as funções
P(x,y)=e^{x^{2}}-1 \quad\text{e}\quad Q(x,y)=\sin\bigl(y^{3}\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=0, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=0.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0-0=0.

Passo 4

Como C é curva fechada e simples em uma região de \mathbb{R}^{2} simplesmente conectada, podemos aplicar o Teorema de Green:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA =\iint_{D}0\,dA =0.
Portanto, o valor da integral é zero.

Resposta

b. Verdadeiro

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