Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha \int_{\gamma} y^{3} d x-x^{3} d y+z^{3} d z. A curva \gamma é a interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2} com o plano x+y+z=b.
Escolha uma opção:
a. 6 \pi
b. 12
c. -\frac{3 \pi a^{4}}{2}
d. Nenhuma das Respostas
e. \frac{2 \pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}y^{3}\,dx - x^{3}\,dy + z^{3}\,dz
em que \gamma é a curva fechada dada pela interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2} com o plano x+y+z=b.
O conteúdo principal é o Teorema de Stokes, que diz que
\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;=\;\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{F}=(P,Q,R) e S é uma superfície com contorno \gamma.

Passo 2

Identificamos
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(y^{3},\,-x^{3},\,z^{3}\bigr).
Calculamos o rotacional \nabla\times\mathbf{F}:
\nabla\times\mathbf{F} =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr) =(0,\,0,\,-3(x^{2}+y^{2})).

Passo 3

Pelo Teorema de Stokes,
\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS.
Escolhemos S como o pedaço de plano z=b-x-y interior ao círculo x^{2}+y^{2}\le a^{2}.

Passo 4

Para z=f(x,y)=b-x-y vale
dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\;dA =\sqrt{1+1+1}\;dA=\sqrt{3}\,dA \quad\text{e}\quad \mathbf{n}_{\rm unit}=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}.
Então
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}_{\rm unit} =-3(x^2+y^2)\frac{1}{\sqrt{3}} \quad\Longrightarrow\quad (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}_{\rm unit}\,dS =-3(x^2+y^2)\,dA.

Passo 5

Restou calcular
-3\iint_{x^2+y^2\le a^2}(x^2+y^2)\,dA.
Em coordenadas polares:
\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{a}r^2\cdot r\,dr\,d\theta =2\pi\;\frac{a^4}{4} =\frac{\pi a^4}{2}.
Multiplicando por -3
-3\cdot\frac{\pi a^4}{2} =-\frac{3\pi a^4}{2}.

Resposta

-\tfrac{3\pi a^{4}}{2} (opção c)

Exercícios relacionados