Questão 3: Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
lim x 3 x^3-6 x^2+9 xx^3-9 x

Passo 1

Nesse exercício, queremos calcular o limite limxto3x^3-6x^2+9xx^3-9x. O conteúdo envolvido é limite de função racional e, em particular, como lidar com indeterminações do tipo 0/0 usando fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos testar a substituição direta de x=3. No numerador temos 3^3-6cdot3^2+9cdot3=27-54+27=0 e no denominador 3^3-9cdot3=27-27=0. Portanto obtemos uma indeterminação 0/0. Nesse caso, a técnica padrão é fatorar.

Passo 3

Agora, fatoramos numerador e denominador. O numerador é
x^3-6x^2+9x = x(x^2-6x+9) = x(x-3)^2
e o denominador é
x^3-9x = x(x^2-9) = x(x-3)(x+3)

Passo 4

Em seguida, simplificamos a fração cancelando o fator comum x(x-3), obtendo a forma simplificada:
x^3-6x^2+9xx^3-9x = x(x-3)^2x(x-3)(x+3) = x-3x+3

Passo 5

Por fim, a função simplificada x-3x+3 é contínua em x=3, então podemos substituir diretamente:
limxto3x-3x+3 = 3-33+3 = 06 = 0

Resposta

0

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