Calcule o fluxo exterior do campo \mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}+2 \mathbf{j}+3 \mathbf{k} através da superfície
\mathbf{r}(u, v)=(2 \cos u \cos v, 2 \sin u \cos v, 2 \sin v), \quad 0 \leq u \leq 2 \pi, \quad-\frac{\pi}{2} \leq v \leq \frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo exterior do campo \mathbf{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}+3\,\mathbf{k} através da superfície dada pela parametrização
\mathbf{r}(u,v)=(2\cos u\cos v,\;2\sin u\cos v,\;2\sin v), \qquad 0\le u\le 2\pi,\quad -\frac{\pi}{2}\le v\le\frac{\pi}{2}.
Informações fornecidas que vamos usar:
  • A expressão do campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}+3\,\mathbf{k}.
  • A parametrização \mathbf{r}(u,v) com os intervalos de u e v.
  • A palavra “fluxo exterior” indica que queremos o fluxo com a normal apontando para fora da região limitada pela superfície (orientação externa).

Passo 2

Identificar a superfície geométrica descrita pela parametrização (isso é importante para escolher a melhor técnica). Vou calcular x^{2}+y^{2}+z^{2} usando a parametrização para ver em que superfície os pontos ficam:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=(2\cos u\cos v)^{2}+(2\sin u\cos v)^{2}+(2\sin v)^{2}.
Agora desenvolvendo cada termo e usando \cos^{2}u+\sin^{2}u=1:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\cos^{2}v(\cos^{2}u+\sin^{2}u)+4\sin^{2}v =4\cos^{2}v+4\sin^{2}v=4.
Portanto todos os pontos satisfazem x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, ou seja, pertencem à esfera de raio 2 centrada na origem. Os intervalos 0\le u\le2\pi e -\pi/2\le v\le\pi/2 percorrem toda a superfície da esfera (cobrem todas as direções), logo a superfície parametrizada é a esfera de raio 2 completa. A orientação pedida é a externa (normal para fora).

Passo 3

Escolha do método: como a superfície é a superfície fechada de uma bola (esfera de raio 2), é muito eficiente usar o Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss). O Teorema da Divergência relaciona o fluxo do campo pela superfície fechada com a integral tripla da divergência do campo sobre o volume interior. Justificativa simples: calcular diretamente \iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS exige computar o produto vetorial \mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v} e integrar sobre parâmetros — dá certo, mas é mais trabalho. O Teorema da Divergência torna o cálculo bem direto quando a superfície é fechada e simples geometricamente (como uma esfera).

Passo 4

Enunciado do Teorema da Divergência (forma usada aqui) e significado das quantidades:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV,
onde:
  • S é a superfície fechada que limita o volume V (a esfera aqui) com \mathbf{n} a normal unitária apontando para fora (fluxo exterior),
  • \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência do campo \mathbf{F}, definida por \nabla\cdot\mathbf{F}=\dfrac{\partial F_x}{\partial x}+\dfrac{\partial F_y}{\partial y}+\dfrac{\partial F_z}{\partial z},
  • \iiint_{V}\cdot\,dV é a integral de volume sobre a região interna V.
Vamos aplicar essa fórmula: primeiro calculamos \nabla\cdot\mathbf{F}.

Passo 5

Cálculo da divergência do campo \mathbf{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}+3\,\mathbf{k}. Por definição:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(2)+\frac{\partial}{\partial z}(3).
Cada derivada parcial:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1 porque a derivada de x em relação a x é 1.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(2)=0 porque 2 é constante em y.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(3)=0 porque 3 é constante em z.
Logo
\nabla\cdot\mathbf{F}=1+0+0=1.

Passo 6

Aplicando o Teorema da Divergência:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}1\,dV,
ou seja, o fluxo exterior é exatamente o volume V da bola de raio 2. Agora precisamos calcular o volume da bola de raio R=2.

Passo 7

Cálculo do volume da bola de raio R (fórmula e justificativa curta): considerar a bola como empilhamento de cascas esféricas de raio r e espessura dr. A área de uma casca esférica de raio r é 4\pi r^{2}, e a casca tem volume aproximado 4\pi r^{2}\,dr. Integrando de r=0 até r=R dá o volume total:
\text{Vol}(B_{R})=\int_{0}^{R}4\pi r^{2}\,dr=4\pi\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{R}=\frac{4\pi R^{3}}{3}.
Substituindo R=2,
\text{Vol}(B_{2})=\frac{4\pi(2)^{3}}{3}=\frac{4\pi\cdot 8}{3}=\frac{32\pi}{3}.

Passo 8

Portanto, pelo Teorema da Divergência, o fluxo exterior do campo \mathbf{F} através da superfície dada é o volume calculado acima.

Resposta

\dfrac{32\pi}{3}

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