Calcule o fluxo exterior do campo
através da superfície
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo exterior do campo
através da superfície dada pela parametrização
Informações fornecidas que vamos usar:
- A expressão do campo vetorial
. - A parametrização
com os intervalos de e . - A palavra “fluxo exterior” indica que queremos o fluxo com a normal apontando para fora da região limitada pela superfície (orientação externa).
Passo 2
Identificar a superfície geométrica descrita pela parametrização (isso é importante para escolher a melhor técnica). Vou calcular
usando a parametrização para ver em que superfície os pontos ficam:
Agora desenvolvendo cada termo e usando
:
Portanto todos os pontos satisfazem
, ou seja, pertencem à esfera de raio
centrada na origem. Os intervalos
e
percorrem toda a superfície da esfera (cobrem todas as direções), logo a superfície parametrizada é a esfera de raio
completa. A orientação pedida é a externa (normal para fora).
Passo 3
Escolha do método: como a superfície é a superfície fechada de uma bola (esfera de raio
), é muito eficiente usar o Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss). O Teorema da Divergência relaciona o fluxo do campo pela superfície fechada com a integral tripla da divergência do campo sobre o volume interior. Justificativa simples: calcular diretamente
exige computar o produto vetorial
e integrar sobre parâmetros — dá certo, mas é mais trabalho. O Teorema da Divergência torna o cálculo bem direto quando a superfície é fechada e simples geometricamente (como uma esfera).
Passo 4
Enunciado do Teorema da Divergência (forma usada aqui) e significado das quantidades:
onde:
-
é a superfície fechada que limita o volume (a esfera aqui) com a normal unitária apontando para fora (fluxo exterior), -
é a divergência do campo , definida por , -
é a integral de volume sobre a região interna .
Vamos aplicar essa fórmula: primeiro calculamos
.
Passo 5
Cálculo da divergência do campo
. Por definição:
Cada derivada parcial:
-
porque a derivada de em relação a é . -
porque é constante em . -
porque é constante em .
Logo
Passo 6
Aplicando o Teorema da Divergência:
ou seja, o fluxo exterior é exatamente o volume
da bola de raio
. Agora precisamos calcular o volume da bola de raio
.
Passo 7
Cálculo do volume da bola de raio
(fórmula e justificativa curta): considerar a bola como empilhamento de cascas esféricas de raio
e espessura
. A área de uma casca esférica de raio
é
, e a casca tem volume aproximado
. Integrando de
até
dá o volume total:
Substituindo
,
Passo 8
Portanto, pelo Teorema da Divergência, o fluxo exterior do campo
através da superfície dada é o volume calculado acima.