Calcule o fluxo exterior do campo vetorial
F(x, y, z)=(x, y, z)x^2+y^2+z^2
através da superfície do sólido E limitado pelas esferas x^2+y^2+z^2=a^2 e x^2+y^2+z^2=b^2, onde a<b, orientadas com sentidos opostos ( n aponta para fora do sólido E ). (resp.: 4 pi(b-a).)

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
Phi=integral duplaSbcup SaFcdot n,dS
do campo
F(x,y,z)=dfrac(x,y,z)x^2+y^2+z^2
através das duas esferas
,Sb:,x^2+y^2+z^2=b^2
e
,Sa:,x^2+y^2+z^2=a^2
orientadas com n apontando para fora do sólido E (casca esférica entre r=a e r=b).

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos r=raizx^2+y^2+z^2 e o vetor unitário radial hat r=(x,y,z)/r.
Logo
F(x,y,z) =(x,y,z)r^2 =1r,hat r
Na esfera de raio R:
– em Sb, o normal externo é n=hat r.
– em Sa, o normal externo ao sólido (casca) é n=-hat r.

Passo 3

Fluxo pela esfera externa Sb ( r=b):
Phib =integral duplaSbFcdot n,dS =integral duplaSb1b,dS =1bcdot4pi b^2 =4pi b

Passo 4

Fluxo pela esfera interna Sa ( r=a), com n=-hat r:
Phia =integral duplaSaFcdot n,dS =integral duplaSa1a,hat rcdot(-hat r),dS =-1acdot4pi a^2 =-4pi a

Passo 5

Somando os dois fluxos obtém-se o fluxo total para fora do sólido E:
Phi =Phib+Phia =4pi b-4pi a =4pi,(b-a)

Resposta

4pi,(b-a)

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