Calcule os seguintes limites vetoriais:
lim t->infinito (t^star e^wed>=(-t),(t^wed>= 3+t) /(2 t^wed>= 3-1), t^star sen(1 / t))

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando ttoinfty, do vetor
l(t e^-t,;t^3+t2t^3-1,;tsinl(1/tr)r)
O conteúdo aqui é cálculo de limite de função vetorial por componente. Vamos usar três ideias principais:
1. A exponencial domina qualquer polinômio.
2. Para razão de polinômios, basta dividir numerador e denominador pelo maior grau.
3. O limite limxto0sin xx=1, aplicando a substituição x=1/t.

Passo 2

Calcular limttoinfty t e^-t:
podemos escrever
t e^-t = te^t
e aplicar o L’Hôpital, pois é forma infty/infty. Derivando numerador e denominador:
limttoinfty te^t = limttoinfty 1e^t = 0

Passo 3

Calcular limttoinftyt^3+t2t^3-1:
dividindo numerador e denominador por t^3,
t^3+t2t^3-1 =1+tfrac1t^22-tfrac1t^3
e, quando ttoinfty, os termos tfrac1t^2 e tfrac1t^3 vão a zero, logo
limttoinftyt^3+t2t^3-1 =1+02-0 =12

Passo 4

Calcular limttoinftytsinl(1/tr):
faça x=1/t, então xto0 quando ttoinfty e
tsinl(1/tr) =sin xx
Como limxto0sin xx=1, concluímos
limttoinftytsinl(1/tr)=1

Resposta

limttoinftyl(t e^-t,;tfract^3+t2t^3-1,;tsin(1/t)r) =(0,tfrac12,1)

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