Resolva as equações fazendo a mudança de variáveis sugerida
raizy y^prime+raizy^3=1 ; v=y^3 / 2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
raizy,y' + raizy^3 = 1
e sugere a mudança de variável
v = y^3/2
Aqui o conteúdo é transformação de uma equação de Riccati em equação linear de primeira ordem, usando substituição.

Passo 2

Vamos relacionar v e suas derivadas com y. Como v=y^3/2, diferenciando em relação a x obtemos
v' = ddxl(y^3/2r) = 32,y^1/2,y'
Logo
y^1/2,y' = 23,v'

Passo 3

Substituindo y^1/2y' e raizy^3=y^3/2=v na equação original, ficamos com
23,v' + v = 1
Multiplicando tudo por 3/2 dá a equação linear padrão
v' + 32,v = 32

Passo 4

Resolvendo a equação linear
v' + 32v = 32,
o fator integrante é expl(tfrac32xr). Então
ddxl(e^32x vr) = e^32x cdot 32

Passo 5

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
raizy,y' + raizy^3 = 1
e sugere a mudança de variável
v = y^3/2
Vamos usar essa substituição para transformar a equação numa equação linear em v(x).

Passo 6

Diferenciando v=y^3/2 em relação a x, obtemos
v' = ddxl(y^3/2r) = 32,y^1/2,y'
Portanto
y^1/2,y' = 23,v'

Passo 7

Na equação original substituímos raizy,y'=tfrac23v' e raizy^3=y^3/2=v. Fica
23,v' + v = 1
Multiplicando tudo por tfrac32, chegamos à forma linear padrão
v' + 32,v = 32

Passo 8

O fator integrante é
mu(x) = e^integral 32,dx = e^32x
Multiplicando a equação por mu(x) temos
ddxl(v,e^32xr) = 32,e^32x
Integrando em x,
v,e^32x = integral 32,e^32x,dx = e^32x + C,
onde C é constante de integração. Assim
v = 1 + C,e^-32x

Passo 9

Voltando à variável original y, lembramos que v=y^3/2. Logo
y^3/2 = 1 + C,e^-32x Longrightarrow y(x) = l(1 + C,e^-tfrac32xr)^2/3

Resposta

y(x) = l(1 + C,e^-tfrac32xr)^2/3,
onde C é constante arbitrária.

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