Resolva as equações fazendo a mudança de variáveis sugerida
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e sugere a mudança de variável
Aqui o conteúdo é transformação de uma equação de Riccati em equação linear de primeira ordem, usando substituição.
Passo 2
Vamos relacionar
e suas derivadas com
. Como
, diferenciando em relação a
obtemos
Logo
Passo 3
Substituindo
e
na equação original, ficamos com
Multiplicando tudo por
dá a equação linear padrão
Passo 4
Resolvendo a equação linear
o fator integrante é
. Então
Passo 5
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e sugere a mudança de variável
Vamos usar essa substituição para transformar a equação numa equação linear em
.
Passo 6
Diferenciando
em relação a
, obtemos
Portanto
Passo 7
Na equação original substituímos
e
. Fica
Multiplicando tudo por
, chegamos à forma linear padrão
Passo 8
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
temos
Integrando em
,
onde
é constante de integração. Assim
Passo 9
Voltando à variável original
, lembramos que
. Logo
Resposta
onde
é constante arbitrária.