Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n^{3}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n^{3}}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. Como os termos são positivos para
, podemos usar o teste da integral para séries de termos positivos.
é convergente ou divergente. Como os termos
Passo 2
Definimos a função
para . Observamos que
é contínua, positiva e decrescente em
, pois embora
cresça sem limite, o denominador
cresce muito mais rápido.
para
Passo 3
Pelo teste da integral, a série
e a integral imprópria
convergem ou divergem simultaneamente. Logo, basta estudar essa integral.
Passo 4
Vamos calcular
por partes, tomando
por partes, tomando
Então
Passo 5
Agora avaliamos de
a
e fazemos
:
Como
e
, resulta
que é finito.
Passo 6
Pelo teste da integral, a convergência da integral implica a convergência da série.
Resposta
A série
é convergente.