Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^inftyln(n)n^3
é convergente ou divergente. Como os termos ln(n)n^3 são positivos para n>=1, podemos usar o teste da integral para séries de termos positivos.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=ln(x)x^3
para x>=1. Observamos que f é contínua, positiva e decrescente em [1,infty), pois embora ln(x) cresça sem limite, o denominador x^3 cresce muito mais rápido.

Passo 3

Pelo teste da integral, a série sumn=1^inftyf(n) e a integral imprópria
integral1^inftyln(x)x^3,dx
convergem ou divergem simultaneamente. Logo, basta estudar essa integral.

Passo 4

Vamos calcular
integralln(x)x^3,dx
por partes, tomando
u=ln(x), dv=x^-3dx
du=dxx, v=-12x^2
Então
integral ln(x)x^3,dx = u,v - integral v,du = -ln(x)2x^2 - integrall(-12x^2r)dxx = -ln(x)2x^2+12integral dxx^3 = -ln(x)2x^2-14x^2+C

Passo 5

Agora avaliamos de 1 a A e fazemos Atoinfty:
integral1^Aln(x)x^3,dx =[-ln(x)2x^2-14x^2]1^A =l(-tfracln(A)2A^2-tfrac14A^2r) -l(-tfracln(1)2-tfrac14r)
Como ln(1)=0 e limAtoinftyln(A)A^2=0, resulta
integral1^inftyln(x)x^3,dx =0 - l(0-tfrac14r) =tfrac14,
que é finito.

Passo 6

Pelo teste da integral, a convergência da integral implica a convergência da série.

Resposta

A série sumn=1^inftyln(n)n^3 é convergente.

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