Calcule o fluxo externo do campo F = (x^2, -2xy, 3xy) através do limite da região D = { x^2 + y^2 + z^2 <= } 4, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular o fluxo externo do campo vetorial através do limite da região que é definida por com , e . Isso significa que a gente está trabalhando com uma parte de uma esfera de raio 2, apenas no primeiro octante (onde todas as coordenadas são positivas). Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo . A divergência é dada por:
Onde . Então:
Somando tudo:

Passo 3

A divergência do campo é zero. Isso simplifica muito as coisas porque, segundo o Teorema da Divergência, o fluxo externo através da superfície fechada é igual à integral da divergência sobre o volume. Então, se a divergência é zero, o fluxo será:

Passo 4

Como o fluxo externo é zero, não precisamos calcular integrais complicadas ou mudar para coordenadas esféricas. O resultado já está na mão!

Resposta

O fluxo externo do campo através do limite da região é .

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