Calcule o fluxo externo do campo
através do limite da região
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular o fluxo externo do campo vetorial
através do limite da região
que é definida por
com
,
e
. Isso significa que a gente está trabalhando com uma parte de uma esfera de raio 2, apenas no primeiro octante (onde todas as coordenadas são positivas). Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo
. A divergência é dada por:
Onde
. Então:
Somando tudo:
Passo 3
A divergência do campo
é zero. Isso simplifica muito as coisas porque, segundo o Teorema da Divergência, o fluxo externo através da superfície fechada é igual à integral da divergência sobre o volume. Então, se a divergência é zero, o fluxo será:
Passo 4
Como o fluxo externo é zero, não precisamos calcular integrais complicadas ou mudar para coordenadas esféricas. O resultado já está na mão!
Resposta
O fluxo externo do campo
através do limite da região
é
.