Seja F=y i. Calcule integral duplaS r o t F cdot n d S, onde S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=1, z >= 0 e n é a normal externa para S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral de superfície de rot F · n sobre o hemisfério definido pela equação com . Aqui, F é o campo vetorial dado por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a rotação (ou curl) de um campo vetorial, como calcular integrais de superfície e usar o teorema de Stokes para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a rotação de F, ou seja, nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z )i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x )j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y )k . A rotação de um campo vetorial partial Rpartial y - partial Qpartial z = 0 - 0 = 0 é dada por:
partial Ppartial z - partial Rpartial x = 0 - 0 = 0
No nosso caso, partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - 1 = -1 , então nabla times F = 0,i + 0,j -1,k = -k , e . Vamos calcular cada componente:
Então,

Passo 3

Agora que temos integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS = ointpartial S F cdot dr , vamos utilizar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície da rotação de F com a integral de linha de F ao longo da borda de . O teorema de Stokes diz:
No nosso caso, a borda é o círculo no plano com raio 1. Vamos então calcular a integral de linha .

Passo 4

Para parametrizar a borda x = costheta, y = sintheta, z = 0, theta in [0, 2pi] , que é o círculo dr = drdtheta dtheta = (-sintheta,i + costheta,j) dtheta no plano F = y,i = sintheta,i , podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
O vetor diferencial de posição é:
Nossa função na borda fica:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr = sintheta cdot (-sintheta) + 0 cdot costheta = -sin^2theta :
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi -sin^2theta, dtheta
Então, a integral de linha fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral0^2pi -sin^2theta, dtheta = -integral0^2pi sin^2theta, dtheta
Sabemos que:
integral sin^2theta, dtheta = theta2 - sin(2theta)4 + C
Aplicando os limites:
-[ 2pi2 - sin(4pi)4 - (0 - sin(0)4) ] = -( pi - 0 ) = -pi

Resposta

Portanto, o valor da integral de superfície é .

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