Seja
. Calcule
, onde
é o hemisfério
e
é a normal externa para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral de superfície de rot F · n sobre o hemisfério
definido pela equação
com
. Aqui, F é o campo vetorial dado por
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a rotação (ou curl) de um campo vetorial, como calcular integrais de superfície e usar o teorema de Stokes para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a rotação de F, ou seja,
. A rotação de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então
,
e
. Vamos calcular cada componente:
Então,
Passo 3
Agora que temos
, vamos utilizar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície da rotação de F com a integral de linha de F ao longo da borda de
. O teorema de Stokes diz:
No nosso caso, a borda
é o círculo no plano
com raio 1. Vamos então calcular a integral de linha
.
Passo 4
Para parametrizar a borda
, que é o círculo
no plano
, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
O vetor diferencial de posição é:
Nossa função
na borda fica:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Então, a integral de linha fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Sabemos que:
Aplicando os limites:
Resposta
Portanto, o valor da integral de superfície é
.