Considere a superfície S definida pela equação z=e^-(x^2+y^2) para z >= 1 / e isto é, Sé o gráfico de f(x, y)= e^-(x^2+y^2) definido sobre D=(x, y): x^2+y^2 >= 1). Seja
F=(e^y+z-2 y) i+(x e^y+z+y) j+e^x+y k
Calcule integral duplaS r o t F cdot d S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular a integral de superfície do rotacional do campo vetorial F sobre a superfície S definida pela equação z = e^-(x^2 + y^2) para z >= 1e. Isso significa que estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de superfície e rotacionais de campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha desse campo ao longo da borda da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. A equação z = e^-(x^2 + y^2) descreve um parabolicamente decrescente que se estende para cima até z = 1e. Além disso, a região D onde essa superfície está definida é onde x^2 + y^2 >= 1. Isso significa que estamos considerando apenas a parte da superfície S que está fora do círculo de raio 1 no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de F. O rotacional, ou curl, de um campo vetorial F = Pi + Qj + Rk é dado por:
rot F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Vamos identificar P, Q e R no nosso campo vetorial:
F = (e^y+z - 2y) i + (x e^y+z + y) j + e^x+y k
Então:
  • P = e^y+z - 2y
  • Q = x e^y+z + y
  • R = e^x+y
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
Componente i:
partial Rpartial y = partialpartial y e^x+y = e^x+y
partial Qpartial z = partialpartial z (x e^y+z + y) = x e^y+z
Então:
i = e^x+y - x e^y+z
Componente j:
partial Ppartial z = partialpartial z (e^y+z - 2y) = e^y+z
partial Rpartial x = partialpartial x e^x+y = e^x+y
Então:
j = e^y+z - e^x+y
Componente k:
partial Qpartial x = partialpartial x (x e^y+z + y) = e^y+z
partial Ppartial y = partialpartial y (e^y+z - 2y) = e^y+z - 2
Então:
k = e^y+z - (e^y+z - 2) = 2
Portanto, o rotacional de F é:
rot F = ( e^x+y - x e^y+z ) i + ( e^y+z - e^x+y ) j + 2 k

Passo 4

Agora que temos o rotacional de F, vamos aplicar o Teorema de Stokes para transformar a integral de superfície em uma integral de linha ao longo da borda da superfície S. O Teorema de Stokes diz:
integral duplaS rot F cdot dS = ointC F cdot dr
onde C é a curva que delimita a superfície S.
Então, precisamos identificar a curva de borda C. Como nossa superfície S é definida para x^2 + y^2 >= 1 e z >= 1e, a borda ocorre quando x^2 + y^2 = 1. Portanto, a curva C é o círculo de raio 1 no plano xy na altura z = 1e.

Passo 5

Vamos parametrizar a curva C. Como é um círculo de raio 1 no plano xy a z = 1e, podemos usar coordenadas polares:
x = costheta
y = sintheta
z = 1e
onde theta varia de 0 a 2pi.
Agora, precisamos expressar dr em termos de theta:
dr = ( -sintheta , dtheta ) i + ( costheta , dtheta ) j + 0 k

Passo 6

Vamos calcular a integral de linha ointC F cdot dr. Primeiro, substituímos os valores de x, y e z na expressão de F:
F = ( e^y+z - 2y ) i + ( x e^y+z + y ) j + e^x+y k
Substituindo:
F = ( e^sintheta + 1e - 2sintheta ) i + ( costheta , e^sintheta + 1e + sintheta ) j + e^costheta + sintheta k
Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = ( e^sintheta + 1e - 2sintheta ) (-sintheta , dtheta) + ( costheta , e^sintheta + 1e + sintheta ) (costheta , dtheta) + e^costheta + sintheta cdot 0
Simplificando:
F cdot dr = ( -sintheta e^sintheta + 1e + 2sin^2theta + cos^2theta e^sintheta + 1e + sintheta costheta ) dtheta
= ( ( -sintheta + cos^theta ) e^sintheta + 1e + 2sin^2theta + sintheta costheta ) dtheta
Agora, precisamos integrar de theta = 0 a theta = 2pi:
ointC F cdot dr = integral0^2pi ( ( -sintheta + costheta ) e^sintheta + 1e + 2sin^2theta + sintheta costheta ) dtheta
Essa integral pode ser complicada para resolver analiticamente devido aos termos envolvendo exponenciais e produtos de senos e cossenos. Entretanto, observando a simetria e as propriedades das funções periódicas, podemos notar que certas integrais sobre um período completo de 0 a 2pi irão se anular.
Por exemplo:
integral0^2pi sintheta , e^sintheta + 1e dtheta = 0
integral0^2pi costheta , e^sintheta + 1e dtheta = 0
Além disso:
integral0^2pi sintheta costheta , dtheta = 0
E:
integral0^2pi 2sin^2theta , dtheta = 2pi
Portanto, a integral simplifica para:
ointC F cdot dr = 2pi

Resposta

A integral de superfície integral duplaS rot F cdot dS é igual a 2pi.

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