Considere a superfície
definida pela equação
para
isto é, Sé o gráfico de
definido sobre
. Seja
Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular a integral de superfície do rotacional do campo vetorial
sobre a superfície
definida pela equação
para
. Isso significa que estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de superfície e rotacionais de campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha desse campo ao longo da borda da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. A equação
descreve um parabolicamente decrescente que se estende para cima até
. Além disso, a região
onde essa superfície está definida é onde
. Isso significa que estamos considerando apenas a parte da superfície
que está fora do círculo de raio 1 no plano
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional, ou curl, de um campo vetorial
é dado por:
Vamos identificar
,
e
no nosso campo vetorial:
Então:
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
Componente
:
Então:
Componente
:
Então:
Componente
:
Então:
Portanto, o rotacional de
é:
Passo 4
Agora que temos o rotacional de
, vamos aplicar o Teorema de Stokes para transformar a integral de superfície em uma integral de linha ao longo da borda da superfície
. O Teorema de Stokes diz:
onde
é a curva que delimita a superfície
.
Então, precisamos identificar a curva de borda
. Como nossa superfície
é definida para
e
, a borda ocorre quando
. Portanto, a curva
é o círculo de raio 1 no plano
na altura
.
Passo 5
Vamos parametrizar a curva
. Como é um círculo de raio 1 no plano
a
, podemos usar coordenadas polares:
onde
varia de
a
.
Agora, precisamos expressar
em termos de
:
Passo 6
Vamos calcular a integral de linha
. Primeiro, substituímos os valores de
,
e
na expressão de
:
Substituindo:
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Agora, precisamos integrar de
a
:
Essa integral pode ser complicada para resolver analiticamente devido aos termos envolvendo exponenciais e produtos de senos e cossenos. Entretanto, observando a simetria e as propriedades das funções periódicas, podemos notar que certas integrais sobre um período completo de
a
irão se anular.
Por exemplo:
Além disso:
E:
Portanto, a integral simplifica para:
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.