Seja S a superfície definida por z=4--4 x^2-y^2 com z >= 0 e orientada para fora. Se F=(x-y, x+y, z e^x y), calcule integral duplaS rot F cdot d S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. A gente tem uma superfície integral duplaS rot , F cdot dS definida por com , ou seja, é uma parábola voltada para baixo. A orientação é “para fora”, o que significa que estamos olhando para o lado de fora dessa superfície. Além disso, temos o campo vetorial e precisamos calcular a integral de superfície do rotacional de sobre , ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes e propriedades do rotacional de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de rot , F = nabla times F , que é dado por:
rot , F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Onde partial Fzpartial y = partialpartial y (z e^xy) = z x e^xy é definido como:
partial Fypartial z = partialpartial z (x + y) = 0
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
Rightarrow Primeira componente = z x e^xy - 0 = z x e^xy
partial Fxpartial z = partialpartial z (x - y) = 0
partial Fzpartial x = partialpartial x (z e^xy) = z y e^xy
  1. Segunda componente:
Rightarrow Segunda componente = 0 - z y e^xy = -z y e^xy
partial Fypartial x = partialpartial x (x + y) = 1
partial Fxpartial y = partialpartial y (x - y) = -1
  1. Terceira componente:
Rightarrow Terceira componente = 1 - (-1) = 2
rot , F = ( z x e^xy, -z y e^xy, 2 )
Portanto, o rotacional de é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo ao longo da borda da superfície. Porém, no nosso caso, a superfície integral duplaSuperfície Fechada rot , F cdot dS = integral triplaVolume nabla cdot (rot , F) , dV não é fechada. Para usar o Teorema da Divergência (que é mais apropriado para superfícies fechadas), precisamos “fechar” nabla cdot (rot , F) = 0 adicionando sua base no plano integral duplaS rot , F cdot dS + integral duplaSbase rot , F cdot dS = 0 .
Assim, consideramos uma superfície fechada composta por integral duplaS rot , F cdot dS = -integral duplaSbase rot , F cdot dS (a parábola) e (a base no plano ). Pela Fórmula da Divergência, temos:
í
Sabemos que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
Portanto, a integral sobre a superfície fechada é zero:
O que implica que:

Passo 4

Vamos calcular a integral sobre a base rot , F = ( 0, 0, 2 ) . No plano dS = (0, 0, -1) , dA , temos:
rot , F cdot dS = (0, 0, 2) cdot (0, 0, -1) = -2
A orientação da base 4x^2 + y^2 = 4 Rightarrow x^2 + y^24 = 1 é para baixo (já que A = pi a b = pi times 1 times 2 = 2pi está orientada para fora). Portanto, o vetor normal integral duplaSbase rot , F cdot dS = -2 times 2pi = -4pi aponta na direção negativa do eixo integral duplaS rot , F cdot dS = -(-4pi) = 4pi :
Logo,
A área da base é a projeção da parábola no plano , que é a região definida por:
Essa é uma elipse com semi-eixos e . A área da elipse é:
Assim, a integral sobre a base é:
Finalmente, retornando à nossa equação anterior:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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