Seja
a superfície definida por
e orientada para fora. Se
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. A gente tem uma superfície
definida por
com
, ou seja, é uma parábola voltada para baixo. A orientação é “para fora”, o que significa que estamos olhando para o lado de fora dessa superfície. Além disso, temos o campo vetorial
e precisamos calcular a integral de superfície do rotacional de
sobre
, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes e propriedades do rotacional de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Onde
é definido como:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Portanto, o rotacional de
é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo ao longo da borda da superfície. Porém, no nosso caso, a superfície
não é fechada. Para usar o Teorema da Divergência (que é mais apropriado para superfícies fechadas), precisamos “fechar”
adicionando sua base no plano
.
Assim, consideramos uma superfície fechada composta por
(a parábola) e
(a base no plano
). Pela Fórmula da Divergência, temos:
Sabemos que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
Portanto, a integral sobre a superfície fechada é zero:
O que implica que:
Passo 4
Vamos calcular a integral sobre a base
. No plano
, temos:
A orientação da base
é para baixo (já que
está orientada para fora). Portanto, o vetor normal
aponta na direção negativa do eixo
:
Logo,
A área da base é a projeção da parábola no plano
, que é a região definida por:
Essa é uma elipse com semi-eixos
e
. A área
da elipse é:
Assim, a integral sobre a base é:
Finalmente, retornando à nossa equação anterior:
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.