Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral1^infty ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para determinar se a integral é convergente ou divergente, e se for convergente, calcular o valor dela. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender o que é convergência de uma integral e como calcular integrais que vão até o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que uma integral é convergente ou divergente. Uma integral imprópria é convergente se ela tem um valor finito, ou seja, se conseguimos calcular um número específico para ela. Se a integral não tiver um valor finito, dizemos que ela é divergente.

Passo 3

Nossa integral é integral1^infty ln x , dx = limb to infty integral1^b ln x , dx . O limite superior é infinito, o que a torna uma integral imprópria. Para avaliar essa integral, vamos reescrevê-la em termos de limites:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral definida integral u , dv = uv - integral v , du . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de funções. A fórmula é:
Vamos escolher:

Passo 5

Aplicando a integração por partes:
integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x dx = x ln x - integral 1 , dx = x ln x - x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos ao nosso limite:
limb to infty [ x ln x - x ]1^b = limb to infty ( b ln b - b - (1 cdot ln 1 - 1) )
Sabemos que limb to infty ( b ln b - b + 1 ) , então simplifica para:

Passo 7

Agora, analisamos o comportamento de quando tende ao infinito. O termo cresce mais rapidamente que , já que o logaritmo cresce sem limite à medida que aumenta. Portanto, também tende ao infinito.

Passo 8

Como o limite tende ao infinito, isso significa que a integral não tem um valor finito.

Resposta

A integral é divergente.

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