Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente, e se for convergente, calcular o valor dela. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender o que é convergência de uma integral e como calcular integrais que vão até o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que uma integral é convergente ou divergente. Uma integral imprópria é convergente se ela tem um valor finito, ou seja, se conseguimos calcular um número específico para ela. Se a integral não tiver um valor finito, dizemos que ela é divergente.
Passo 3
Nossa integral é
. O limite superior é infinito, o que a torna uma integral imprópria. Para avaliar essa integral, vamos reescrevê-la em termos de limites:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral definida
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de funções. A fórmula é:
Vamos escolher:
-
⇒ -
⇒
Passo 5
Aplicando a integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, voltamos ao nosso limite:
Sabemos que
, então simplifica para:
Passo 7
Agora, analisamos o comportamento de
quando
tende ao infinito. O termo
cresce mais rapidamente que
, já que o logaritmo cresce sem limite à medida que
aumenta. Portanto,
também tende ao infinito.
Passo 8
Como o limite tende ao infinito, isso significa que a integral
não tem um valor finito.
Resposta
A integral
é divergente.