Calcule (a) o fluxo instantâneo de energia (energia por unidade de área por unidade de tempo) da onda, (b) a intensidade da onda e (c) a potência média que atinge uma antena parabólica cujo diâmetro vale 2 m , sabendo que o campo elétrico e o campo magnético em sua abertura valem: \mathrm{E}(\mathrm{t})=10^{-2} \operatorname{sen} \omega t(\mathrm{~V} / \mathrm{m}) e \mathrm{B}(\mathrm{t})=(1 / 30) \times 10^{-9} \operatorname{sen} \omega t(\mathrm{~T})
Respostas: (a) \left(10^{-4} / 120 \pi\right) \operatorname{sen}^{2} \omega t \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}; (b) \left(10^{-4} / 240 \pi\right) \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}; (c) \left(10^{-4} / 240\right) \mathrm{W}.

Passo 1

O enunciado pede (a) o fluxo instantâneo de energia de uma onda eletromagnética, (b) a intensidade média dessa onda e (c) a potência média captada por uma antena parabólica de diâmetro 2\\ \mathrm{m}. O conteúdo principal aqui é o vetor de Poynting, que em módulo vale
S(t)=\frac{E(t)\,B(t)}{\mu_{0}},
onde \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}. Vamos usar as expressões
E(t)=10^{-2}\sin\omega t\quad(\mathrm{V/m}),
B(t)=\frac{10^{-9}}{30}\sin\omega t\quad(\mathrm{T})
para encontrar (a), depois calcular a média temporal para (b) e, por fim, multiplicar pela área da antena para (c).

Passo 2

Substituindo em \displaystyle S(t)=E(t)\,B(t)/\mu_{0}, temos
S(t) =\frac{\bigl(10^{-2}\sin\omega t\bigr)\,\bigl(\tfrac{10^{-9}}{30}\sin\omega t\bigr)}{4\pi\times10^{-7}} =\frac{10^{-11}}{30\,(4\pi\times10^{-7})}\,\sin^{2}\omega t.

Passo 3

Simplificando o coeficiente numérico:
\frac{10^{-11}}{30\cdot4\pi\times10^{-7}} =\frac{10^{-4}}{120\pi},
logo o fluxo instantâneo é
S(t)=\frac{10^{-4}}{120\pi}\,\sin^{2}\omega t\quad\bigl(\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\bigr).

Passo 4

A intensidade I é a média temporal de S(t). Como \langle\sin^{2}\omega t\rangle=1/2,
I=\bigl\langle S(t)\bigr\rangle =\frac{10^{-4}}{120\pi}\times\frac{1}{2} =\frac{10^{-4}}{240\pi}\quad\bigl(\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\bigr).

Passo 5

A potência média P recebida pela antena equivale a multiplicar I pela área da boca parabólica. Para diâmetro D=2\\ \mathrm{m}, o raio é r=1\\ \mathrm{m} e
A=\pi r^{2}=\pi\cdot1^{2}=\pi\\ \mathrm{m}^{2}.
Portanto,
P=I\,A =\frac{10^{-4}}{240\pi}\times\pi =\frac{10^{-4}}{240}\quad(\mathrm{W}).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{10^{-4}}{120\pi}\sin^{2}\omega t\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}
(b) \displaystyle \frac{10^{-4}}{240\pi}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}
(c) \displaystyle \frac{10^{-4}}{240}\\ \mathrm{W}

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